Die Wahrscheinlichkeit eines Full House in Yahtzee in einer einzigen Rolle

Das Spiel von Yahtzee beinhaltet die Verwendung von fünf Standardwürfeln. In jeder Runde erhalten die Spieler drei Würfe. Nach jedem Wurf kann eine beliebige Anzahl von Würfeln behalten werden, mit dem Ziel, bestimmte Kombinationen dieser Würfel zu erhalten. Jede andere Kombination ist eine andere Punktzahl wert.

Eine dieser Arten von Kombinationen wird als Full House bezeichnet. Wie ein Full House im Pokerspiel enthält diese Kombination drei Zahlen einer bestimmten Zahl sowie ein Paar einer anderen Zahl. Da es sich bei Yahtzee um das zufällige Würfeln handelt, kann in diesem Spiel anhand der Wahrscheinlichkeit analysiert werden, wie wahrscheinlich es ist, ein Full House in einem einzigen Wurf zu würfeln.

Annahmen

Wir werden mit der Angabe unserer Annahmen beginnen. Wir gehen davon aus, dass die verwendeten Würfel fair und unabhängig voneinander sind. Dies bedeutet, dass wir einen einheitlichen Probenraum haben, der aus allen möglichen Würfen der fünf Würfel besteht. Obwohl das Spiel von Yahtzee drei Würfe erlaubt, werden wir nur den Fall betrachten, dass wir ein volles Haus in einem einzigen Wurf erhalten.

Probenraum

Da wir mit einem einheitlichen Probenraum arbeiten, wird die Berechnung unserer Wahrscheinlichkeit zur Berechnung einiger Zählprobleme. Die Wahrscheinlichkeit eines Full House ist die Anzahl der Möglichkeiten, ein Full House zu würfeln, dividiert durch die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum.

Die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum ist unkompliziert. Da es fünf Würfel gibt und jeder dieser Würfel eines von sechs verschiedenen Ergebnissen haben kann, beträgt die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Anzahl der vollen Häuser

Als nächstes berechnen wir die Anzahl der Möglichkeiten, ein Full House zu würfeln. Dies ist ein schwierigeres Problem. Um ein volles Haus zu haben, brauchen wir drei von einer Würfelsorte, gefolgt von einem Paar von einer anderen Würfelsorte. Wir werden dieses Problem in zwei Teile aufteilen:

• Wie viele verschiedene Arten von Full Houses könnten gerollt werden??
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine bestimmte Art von Full House zu würfeln??

Sobald wir die Anzahl dieser Häuser kennen, können wir sie miteinander multiplizieren, um die Gesamtzahl der vollen Häuser zu erhalten, die gerollt werden können.

Zunächst betrachten wir die Anzahl der verschiedenen Arten von vollen Häusern, die gerollt werden können. Jede der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 kann für die Drei einer Art verwendet werden. Es gibt fünf verbleibende Nummern für das Paar. Somit gibt es 6 x 5 = 30 verschiedene Arten von Full House-Kombinationen, die gewürfelt werden können.

Zum Beispiel könnten wir 5, 5, 5, 2, 2 als eine Art volles Haus haben. Eine andere Art von Full House wäre 4, 4, 4, 1, 1. Eine andere wäre 1, 1, 4, 4, 4, was sich von der vorherigen Art von Full House unterscheidet, da die Rollen der vier und einer vertauscht wurden.

Nun bestimmen wir die unterschiedliche Anzahl von Möglichkeiten, ein bestimmtes Full House zu würfeln. Mit jedem der folgenden Werte erhalten wir beispielsweise dasselbe volle Haus mit drei und zwei Vieren:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Wir sehen, dass es mindestens fünf Möglichkeiten gibt, ein bestimmtes Full House zu würfeln. Gibt es noch andere Auch wenn wir immer wieder andere Möglichkeiten auflisten, woher wissen wir, dass wir alle gefunden haben?

Der Schlüssel zur Beantwortung dieser Fragen besteht darin, zu erkennen, dass es sich um ein Zählproblem handelt, und festzustellen, mit welcher Art von Zählproblem wir arbeiten. Es gibt fünf Positionen, von denen drei mit vier besetzt werden müssen. Die Reihenfolge, in der wir unsere Viere platzieren, spielt keine Rolle, solange die genauen Positionen besetzt sind. Sobald die Position der Viere festgelegt wurde, erfolgt die Platzierung der Viere automatisch. Aus diesen Gründen müssen wir die Kombination von fünf Positionen betrachten, die jeweils drei auf einmal eingenommen werden.

Wir verwenden die Kombinationsformel, um zu erhalten C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Dies bedeutet, dass es 10 verschiedene Möglichkeiten gibt, ein bestimmtes Full House zu würfeln.