Die Wahrscheinlichkeit einer großen Straße in Yahtzee in einer einzigen Rolle

Yahtzee ist ein Würfelspiel, bei dem fünf normale sechsseitige Würfel verwendet werden. In jeder Runde erhalten die Spieler drei Würfe, um verschiedene Ziele zu erreichen. Nach jedem Wurf kann ein Spieler entscheiden, welche der Würfel (falls vorhanden) behalten und welche neu gewürfelt werden sollen. Die Ziele umfassen eine Vielzahl verschiedener Arten von Kombinationen, von denen viele aus dem Poker stammen. Jede andere Kombination ist eine andere Punktzahl wert.

Zwei der Arten von Kombinationen, die Spieler würfeln müssen, werden als Straights bezeichnet: eine kleine Straße und eine große Straße. Wie Poker Straights bestehen diese Kombinationen aus aufeinanderfolgenden Würfeln. Bei kleinen Geraden werden vier der fünf Würfel und bei großen Geraden alle fünf Würfel eingesetzt. Aufgrund der Zufälligkeit des Würfelns kann die Wahrscheinlichkeit verwendet werden, um zu analysieren, wie wahrscheinlich es ist, eine große Gerade in einem einzelnen Wurf zu werfen.

Annahmen

Wir gehen davon aus, dass die verwendeten Würfel fair und unabhängig voneinander sind. Somit gibt es einen einheitlichen Probenraum, der aus allen möglichen Würfen der fünf Würfel besteht. Obwohl Yahtzee drei Rollen zulässt, betrachten wir der Einfachheit halber nur den Fall, dass wir eine große Gerade in einer einzelnen Rolle erhalten.

Probenraum

Da wir mit einem einheitlichen Probenraum arbeiten, wird die Berechnung unserer Wahrscheinlichkeit zur Berechnung einiger Zählprobleme. Die Wahrscheinlichkeit einer Straße ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine Straße zu würfeln, dividiert durch die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum.

Es ist sehr einfach, die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum zu zählen. Wir werfen fünf Würfel und jeder dieser Würfel kann einen von sechs verschiedenen Ergebnissen haben. Eine grundlegende Anwendung des Multiplikationsprinzips besagt, dass der Probenraum 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 hat⁵ = 7776 Ergebnisse. Diese Zahl ist der Nenner aller Brüche, die wir für unsere Wahrscheinlichkeiten verwenden.

Anzahl der Geraden

Als nächstes müssen wir wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine große Straße zu rollen. Dies ist schwieriger als die Größe des Probenraums zu berechnen. Der Grund, warum dies schwieriger ist, ist, dass unsere Zählweise subtiler ist.

Eine große Gerade ist schwerer zu rollen als eine kleine Gerade, aber es ist einfacher, die Anzahl der Weisen zu zählen, eine große Gerade zu rollen, als die Anzahl der Weisen, eine kleine Gerade zu rollen. Dieser Straight-Typ besteht aus fünf aufeinander folgenden Zahlen. Da es nur sechs verschiedene Zahlen auf dem Würfel gibt, gibt es nur zwei mögliche große Geraden: 1, 2, 3, 4, 5 und 2, 3, 4, 5, 6..

Jetzt bestimmen wir die unterschiedliche Anzahl von Würfeln, die uns eine Straße bringen. Für eine große Straße mit den Würfeln 1, 2, 3, 4, 5 können wir die Würfel in beliebiger Reihenfolge haben. Es gibt also verschiedene Möglichkeiten, die gleiche Gerade zu rollen:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Es wäre mühsam, alle möglichen Wege aufzulisten, um eine 1, 2, 3, 4 und 5 zu erhalten. Da wir nur wissen müssen, wie viele Wege es gibt, um dies zu tun, können wir einige grundlegende Zähltechniken anwenden. Wir stellen fest, dass alles, was wir tun, die fünf Würfel permutiert. Es gibt 5! = 120 Möglichkeiten dies zu tun. Da es zwei Kombinationen von Würfeln gibt, um eine große Straße zu bilden, und jeweils 120 Wege, um diese zu würfeln, gibt es 2 x 120 = 240 Wege, um eine große Straße zu würfeln.

Wahrscheinlichkeit

Nun ist die Wahrscheinlichkeit, eine große Gerade zu rollen, eine einfache Teilungsberechnung. Da es 240 Möglichkeiten gibt, eine große Straße in einem einzigen Wurf zu würfeln, und 7776 Würfe mit fünf Würfeln möglich sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine große Straße zu würfeln, 240/7776, was nahe bei 1/32 und 3,1% liegt..

Natürlich ist es mehr als wahrscheinlich, dass der erste Wurf kein Straight ist. Wenn dies der Fall ist, dürfen wir zwei weitere Rollen machen, was die Wahrscheinlichkeit einer Straße wesentlich erhöht. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist viel komplizierter zu bestimmen, da alle möglichen Situationen berücksichtigt werden müssten.