Verwendung der Momenterzeugungsfunktion für die Binomialverteilung

Der Mittelwert und die Varianz einer Zufallsvariablen X mit einer binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung kann es schwierig sein, direkt zu berechnen. Obwohl klar sein kann, was bei der Definition des erwarteten Werts von zu tun ist X und X², Die eigentliche Ausführung dieser Schritte ist ein kniffliges Jonglieren von Algebra und Summierungen. Eine alternative Methode zur Bestimmung des Mittelwerts und der Varianz einer Binomialverteilung ist die Verwendung der Momentenerzeugungsfunktion für X.

Binomiale Zufallsvariable

Beginnen Sie mit der Zufallsvariablen X und beschreiben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung genauer. Ausführen n unabhängige Bernoulli-Studien, von denen jede Erfolgswahrscheinlichkeit hat p und Ausfallwahrscheinlichkeit 1 - p. Somit ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

f (x) = C(n , x)p^x(1 - p)^{n - x}

Hier der Begriff C(n , x) bezeichnet die Anzahl der Kombinationen von n Elemente genommen x zu einer Zeit, und x kann die Werte 0, 1, 2, 3, ... annehmen , n.

Moment erzeugende Funktion

Verwenden Sie diese Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, um die Momenterzeugungsfunktion von zu erhalten X:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ e^txC(n,x)>)p^x(1 - p)^{n - x}.

Es wird deutlich, dass Sie die Begriffe mit dem Exponenten von kombinieren können x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (Sport^t)^xC(n,x)>) (1 - p)^{n - x}.

Darüber hinaus lautet der obige Ausdruck unter Verwendung der Binomialformel einfach:

M(t) = [(1 - p) + Sport^t]ⁿ.

Berechnung des Mittelwertes

Um den Mittelwert und die Varianz zu ermitteln, müssen Sie beide kennen M'(0) und M"(0). Beginnen Sie mit der Berechnung Ihrer Derivate, und werten Sie dann jeden von ihnen bei aus t = 0.

Sie werden sehen, dass die erste Ableitung der Momenterzeugungsfunktion ist:

M'(t) = n(Sport^t) [(1 - p) + Sport^t]^{n - 1}.

Daraus können Sie den Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen. M(0) = n(Sport⁰) [(1 - p) + Sport⁰]^{n - 1} = np. Dies entspricht dem Ausdruck, den wir direkt aus der Definition des Mittelwerts erhalten haben.

Berechnung der Varianz

Die Berechnung der Varianz erfolgt auf ähnliche Weise. Unterscheiden Sie zunächst die momenterzeugende Funktion erneut und bewerten Sie diese Ableitung dann bei t = 0. Hier sehen Sie das

M"(t) = n(n - 1) (Sport^t)²[(1 - p) + Sport^t]^{n - 2} + n(Sport^t) [(1 - p) + Sport^t]^{n - 1}.

Um die Varianz dieser Zufallsvariablen zu berechnen, müssen Sie suchen M"(t). Hier hast du M"(0) = n(n - 1)p² +np. Die Varianz σ² Ihrer Distribution ist

σ² = M"(0) - [M'(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Obwohl diese Methode etwas kompliziert ist, ist sie nicht so kompliziert wie die direkte Berechnung des Mittelwerts und der Varianz aus der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion.