Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit zur Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses EIN tritt aufgrund eines anderen Ereignisses auf B ist schon vorgekommen. Diese Art von Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem der Sample-Raum, mit dem wir arbeiten, auf die Menge beschränkt wird B.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit kann mit einer Grundalgebra umgeschrieben werden. Anstelle der Formel:

P (A | B) = P (A ≤ B) / P (B),

Wir multiplizieren beide Seiten mit P (B) und erhalten Sie die äquivalente Formel:

P (A | B) x P (B) = P (A ∩ B).

Mit dieser Formel können wir dann die Wahrscheinlichkeit ermitteln, mit der zwei Ereignisse auftreten, indem wir die bedingte Wahrscheinlichkeit verwenden.

Verwendung der Formel

Diese Version der Formel ist am nützlichsten, wenn wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von kennen EIN gegeben B sowie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B. Wenn dies der Fall ist, können wir die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von berechnen EIN gegeben B durch einfaches Multiplizieren von zwei anderen Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Ereignisse überschneiden, ist eine wichtige Zahl, da es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, dass beide Ereignisse auftreten.

Beispiele

Nehmen wir für unser erstes Beispiel an, wir kennen die folgenden Werte für Wahrscheinlichkeiten: P (A | B) = 0,8 und P (B) = 0,5. Die Wahrscheinlichkeit P (A ∩ B) = 0,8 × 0,5 = 0,4.

Während das obige Beispiel zeigt, wie die Formel funktioniert, ist es möglicherweise nicht besonders aufschlussreich, wie nützlich die obige Formel ist. Wir werden also ein anderes Beispiel betrachten. Es gibt eine High School mit 400 Schülern, von denen 120 männlich und 280 weiblich sind. 60% der Männer sind derzeit in einem Mathematikkurs eingeschrieben. 80% der Frauen sind derzeit in einem Mathematikkurs eingeschrieben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Studentin in einem Mathematikkurs eingeschrieben ist??

Hier lassen wir F bezeichnen die Veranstaltung "Ausgewählte Studentin ist weiblich" und M das Ereignis "Ausgewählter Student ist in einem Mathematikkurs eingeschrieben." Wir müssen die Wahrscheinlichkeit der Überschneidung dieser beiden Ereignisse bestimmen, oder P (M ∩ F).

Die obige Formel zeigt uns das P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau ausgewählt wird, ist P (F) = 280/400 = 70%. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Studentin in einen Mathematikkurs eingeschrieben ist, beträgt, wenn eine Frau ausgewählt wurde P (M | F) = 80%. Wir multiplizieren diese Wahrscheinlichkeiten und stellen fest, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Studentin auszuwählen, die in einem Mathematikkurs eingeschrieben ist, bei 80% x 70% = 56% liegt.

Test für die Unabhängigkeit

Die obige Formel in Bezug auf die bedingte Wahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit einer Überschneidung gibt uns eine einfache Möglichkeit, festzustellen, ob es sich um zwei unabhängige Ereignisse handelt. Seit den Ereignissen EIN und B sind unabhängig, wenn P (A | B) = P (A), es folgt aus der obigen Formel, dass Ereignisse EIN und B sind dann und nur dann unabhängig, wenn:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Also, wenn wir das wissen P (A) = 0,5, P (B) = 0,6 und P (A ∩ B) = 0,2, ohne etwas anderes zu wissen, können wir feststellen, dass diese Ereignisse nicht unabhängig sind. Wir wissen das, weil P (A) x P (B) = 0,5 × 0,6 = 0,3. Dies ist nicht die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von EIN und B.