Signifikante Zahlen für präzise Messungen verwenden

Ein Wissenschaftler kann bei einer Messung nur ein bestimmtes Maß an Präzision erreichen, das entweder durch die verwendeten Werkzeuge oder die physikalische Beschaffenheit der Situation begrenzt ist. Das naheliegendste Beispiel ist die Entfernungsmessung.

Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie die Entfernung eines Objekts mit einem Maßband messen (in metrischen Einheiten). Das Maßband wird wahrscheinlich in kleinste Millimeter zerlegt. Daher können Sie auf keinen Fall mit einer Genauigkeit von mehr als einem Millimeter messen. Wenn sich das Objekt also um 57,215493 Millimeter bewegt, können wir nur mit Sicherheit feststellen, dass es sich um 57 Millimeter bewegt hat (oder 5,7 Zentimeter oder 0,057 Meter, je nach Präferenz in dieser Situation)..

Im Allgemeinen ist diese Rundungsstufe in Ordnung. Die exakte Bewegung eines Objekts normaler Größe auf einen Millimeter genau zu bestimmen, wäre eigentlich eine beeindruckende Leistung. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, die Bewegung eines Autos auf den Millimeter genau zu messen, und Sie werden feststellen, dass dies im Allgemeinen nicht erforderlich ist. In den Fällen, in denen eine solche Präzision erforderlich ist, verwenden Sie Werkzeuge, die viel ausgefeilter sind als ein Maßband.

Die Anzahl der aussagekräftigen Zahlen in einer Messung wird als Anzahl von bezeichnet bedeutende Figuren der Anzahl. Im vorherigen Beispiel liefert die 57-Millimeter-Antwort zwei signifikante Zahlen für unsere Messung.

Nullen und wichtige Zahlen

Betrachten Sie die Zahl 5.200.

Sofern nicht anders angegeben, ist es allgemein üblich anzunehmen, dass nur die beiden Ziffern ungleich Null signifikant sind. Mit anderen Worten wird angenommen, dass diese Zahl auf die nächsten hundert gerundet wurde.

Wenn die Zahl jedoch als 5.200,0 geschrieben wird, hätte sie fünf signifikante Ziffern. Der Dezimalpunkt und die folgende Null werden nur hinzugefügt, wenn die Messung auf diesen Pegel genau ist.

In ähnlicher Weise hätte die Zahl 2,30 drei signifikante Stellen, da die Null am Ende darauf hinweist, dass der Wissenschaftler, der die Messung durchführt, dies mit dieser Genauigkeit getan hat.

Einige Lehrbücher haben auch die Konvention eingeführt, dass ein Dezimalpunkt am Ende einer ganzen Zahl ebenfalls signifikante Zahlen anzeigt. 800 hätte also drei signifikante Zahlen, während 800 nur eine signifikante Zahl hat. Auch dies ist je nach Lehrbuch etwas unterschiedlich.

Es folgen einige Beispiele für eine unterschiedliche Anzahl von signifikanten Figuren, um das Konzept zu verfestigen:

Eine bedeutende Figur
4
900
0,00002
Zwei bedeutende Figuren
3.7
0,0059
68.000
5.0
Drei bedeutende Figuren
9.64
0,00360
99.900
8.00
900. (in einigen Lehrbüchern)

Mathematik mit bedeutenden Zahlen

Wissenschaftliche Abbildungen enthalten andere Regeln für die Mathematik als die, die Sie in Ihrem Mathematikunterricht kennengelernt haben. Der Schlüssel zur Verwendung von signifikanten Zahlen besteht darin, sicherzustellen, dass Sie während der gesamten Berechnung die gleiche Genauigkeit beibehalten. In der Mathematik behalten Sie alle Zahlen aus Ihrem Ergebnis bei, während Sie in der wissenschaftlichen Arbeit häufig anhand der relevanten Zahlen runden.

Beim Addieren oder Subtrahieren von wissenschaftlichen Daten ist nur die letzte Ziffer (die am weitesten rechts stehende Ziffer) von Bedeutung. Nehmen wir zum Beispiel an, wir addieren drei verschiedene Abstände:

5,324 + 6,8459834 + 3,1

Der erste Term im Additionsproblem hat vier signifikante Zahlen, der zweite hat acht und der dritte hat nur zwei. Die Genauigkeit wird in diesem Fall durch den kürzesten Dezimalpunkt bestimmt. Sie führen also Ihre Berechnung durch, aber statt 15.2699834 wird das Ergebnis 15.3 sein, weil Sie auf die zehnte Stelle (die erste Stelle nach dem Dezimalpunkt) runden, weil zwei Ihrer Messungen präziser sind, als die dritte Sie etwas mehr als den zehnten Platz, so dass das Ergebnis dieses Additionsproblems nur so genau sein kann.

Beachten Sie, dass Ihre endgültige Antwort in diesem Fall drei signifikante Ziffern hat, während keiner Ihre Startnummern haben. Dies kann für Anfänger sehr verwirrend sein, und es ist wichtig, auf diese Eigenschaft der Addition und Subtraktion zu achten.

Bei der Multiplikation oder Division von wissenschaftlichen Daten spielt dagegen die Anzahl der signifikanten Zahlen eine Rolle. Das Multiplizieren von signifikanten Zahlen führt immer zu einer Lösung mit denselben signifikanten Zahlen wie den kleinsten signifikanten Zahlen, mit denen Sie begonnen haben. Also weiter zum Beispiel:

5,638 x 3,1

Der erste Faktor hat vier signifikante Zahlen und der zweite Faktor hat zwei signifikante Zahlen. Ihre Lösung wird daher mit zwei signifikanten Zahlen enden. In diesem Fall ist es 17 statt 17.4778. Sie führen die Berechnung durch dann runden Sie Ihre Lösung auf die richtige Anzahl von signifikanten Zahlen. Die zusätzliche Präzision bei der Multiplikation schadet nicht, Sie möchten nur in Ihrer endgültigen Lösung keine falsche Präzision angeben.

Wissenschaftliche Notation verwenden

Die Physik befasst sich mit Raumbereichen von der Größe eines Protons bis zur Größe des Universums. Als solches haben Sie es am Ende mit einigen sehr großen und sehr kleinen Zahlen zu tun. Im Allgemeinen sind nur die ersten Zahlen von Bedeutung. Niemand wird (oder kann) die Breite des Universums auf den nächsten Millimeter genau messen.

Hinweis

Dieser Teil des Artikels befasst sich mit der Manipulation von Exponentialzahlen (d. H. 105, 10-8 usw.), und es wird angenommen, dass der Leser diese mathematischen Konzepte versteht. Obwohl das Thema für viele Studenten schwierig sein kann, liegt es außerhalb des Rahmens dieses Artikels, es anzusprechen.

Um diese Zahlen leicht manipulieren zu können, verwenden Wissenschaftler die wissenschaftliche Notation. Die signifikanten Zahlen werden aufgelistet und dann mit zehn multipliziert, um die erforderliche Leistung zu erzielen. Die Lichtgeschwindigkeit wird wie folgt geschrieben: [blackquote shade = no] 2.997925 x 108 m / s

Es gibt 7 signifikante Zahlen und dies ist viel besser als 299.792.500 m / s zu schreiben.

Hinweis

Die Lichtgeschwindigkeit wird häufig mit 3,00 x 108 m / s angegeben. In diesem Fall gibt es nur drei signifikante Zahlen. Auch hier kommt es darauf an, welche Präzision erforderlich ist.

Diese Notation ist sehr praktisch für die Multiplikation. Sie befolgen die zuvor beschriebenen Regeln zum Multiplizieren der signifikanten Zahlen unter Beibehaltung der kleinsten Anzahl signifikanter Zahlen und multiplizieren dann die Größen, die der additiven Exponentenregel folgen. Das folgende Beispiel soll Ihnen bei der Visualisierung helfen:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Das Produkt hat nur zwei signifikante Zahlen und die Größenordnung ist 107, da 103 x 104 = 107

Das Hinzufügen einer wissenschaftlichen Notation kann je nach Situation sehr einfach oder sehr schwierig sein. Wenn die Terme in der gleichen Größenordnung liegen (dh 4,3005 x 105 und 13,5 x 105), befolgen Sie die oben erläuterten Additionsregeln, wobei Sie den höchsten Stellenwert als Rundungsposition und die gleiche Größe wie im Folgenden beibehalten Beispiel:

4,3005 × 10 5 + 13,5 × 10 5 = 17,8 × 10 5

Wenn die Größenordnung jedoch unterschiedlich ist, müssen Sie ein wenig arbeiten, um die gleichen Größen zu erhalten, wie im folgenden Beispiel, in dem sich ein Term auf der Größe von 105 und der andere Term auf der Größe von 106 befindet:

4,8 × 10 5 + 9,2 × 10 6 = 4,8 × 10 5 + 92 × 10 5 = 97 × 10 5
oder
4,8 × 10 5 + 9,2 × 10 6 = 0,48 × 10 6 + 9,2 × 10 6 = 9,7 × 10 6

Beide Lösungen sind gleich und ergeben 9.700.000 als Antwort.

In ähnlicher Weise werden auch sehr kleine Zahlen häufig in wissenschaftlicher Notation geschrieben, allerdings mit einem negativen Exponenten der Größe anstelle des positiven Exponenten. Die Masse eines Elektrons ist:

9,10939 x 10 & ndash; 31 kg

Dies wäre eine Null, gefolgt von einem Dezimalpunkt, gefolgt von 30 Nullen und der Folge von 6 signifikanten Zahlen. Niemand will das aufschreiben, deshalb ist die wissenschaftliche Notation unser Freund. Alle oben aufgeführten Regeln sind gleich, unabhängig davon, ob der Exponent positiv oder negativ ist.

Die Grenzen bedeutender Figuren

Bedeutende Zahlen sind ein grundlegendes Mittel, mit dem Wissenschaftler die von ihnen verwendeten Zahlen genau bestimmen können. Der damit verbundene Rundungsprozess führt jedoch immer noch ein Fehlermaß in die Zahlen ein, und bei Berechnungen auf sehr hoher Ebene gibt es andere statistische Methoden, die verwendet werden. Für praktisch die gesamte Physik, die in den Klassenräumen der High Schools und Colleges durchgeführt wird, ist jedoch die korrekte Verwendung von signifikanten Zahlen ausreichend, um das erforderliche Maß an Präzision aufrechtzuerhalten.

Letzte Kommentare

Bedeutende Zahlen können ein bedeutender Stolperstein sein, wenn sie den Schülern zum ersten Mal vorgestellt werden, da sie einige der grundlegenden mathematischen Regeln ändern, die ihnen seit Jahren beigebracht werden. Zum Beispiel bei signifikanten Zahlen 4 x 12 = 50.

Ebenso kann die Einführung der wissenschaftlichen Notation bei Schülern, die mit Exponenten oder Exponentialregeln möglicherweise nicht vertraut sind, zu Problemen führen. Denken Sie daran, dass dies Werkzeuge sind, die jeder, der Naturwissenschaften studiert, irgendwann lernen musste, und dass die Regeln tatsächlich sehr grundlegend sind. Die Schwierigkeit besteht darin, sich fast vollständig daran zu erinnern, welche Regel zu welcher Zeit angewendet wird. Wann füge ich Exponenten hinzu und wann subtrahiere ich sie? Wann verschiebe ich den Dezimalpunkt nach links und wann nach rechts? Wenn Sie diese Aufgaben weiterhin ausführen, werden Sie sie verbessern, bis sie zur zweiten Natur werden.

Schließlich kann es schwierig sein, die richtigen Einheiten zu warten. Denken Sie daran, dass Sie beispielsweise Zentimeter und Meter nicht direkt hinzufügen können, sondern diese zunächst in dieselbe Skala umwandeln müssen. Dies ist ein häufiger Fehler für Anfänger, aber wie der Rest ist es etwas, das sehr leicht überwunden werden kann, indem man langsamer wird, vorsichtig ist und darüber nachdenkt, was man tut.