Was ist eine reelle Zahl?

Was ist eine Nummer? Nun, das hängt davon ab. Es gibt verschiedene Arten von Zahlen, von denen jede ihre eigenen Eigenschaften hat. Eine Art von Zahl, auf der Statistik, Wahrscheinlichkeit und ein Großteil der Mathematik basieren, wird als reelle Zahl bezeichnet.

Um zu erfahren, was eine reelle Zahl ist, werden wir zuerst eine kurze Tour durch andere Arten von Zahlen machen.

Arten von Zahlen

Wir lernen zuerst über Zahlen, um zu zählen. Wir begannen mit dem Abgleichen der Zahlen 1, 2 und 3 mit unseren Fingern. Dann machten wir weiter so hoch wie wir konnten, was wahrscheinlich nicht so hoch war. Diese Zählzahlen oder natürlichen Zahlen waren die einzigen Zahlen, von denen wir wussten.

Später, wenn es um Subtraktion ging, wurden negative ganze Zahlen eingeführt. Die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen heißt die Menge der ganzen Zahlen. Kurz darauf wurden rationale Zahlen, auch Brüche genannt, berücksichtigt. Da jede Ganzzahl als Bruch mit 1 im Nenner geschrieben werden kann, sagen wir, dass die Ganzzahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen bilden.

Die alten Griechen erkannten, dass nicht alle Zahlen als Bruch gebildet werden können. Beispielsweise kann die Quadratwurzel von 2 nicht als Bruch ausgedrückt werden. Diese Arten von Zahlen werden irrationale Zahlen genannt. Irrationale Zahlen gibt es zuhauf, und in gewissem Sinne gibt es überraschenderweise mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen. Andere irrationale Zahlen sind pi und e.

Dezimalerweiterungen

Jede reelle Zahl kann als Dezimalzahl geschrieben werden. Unterschiedliche Arten von reellen Zahlen haben unterschiedliche Arten von Dezimalerweiterungen. Die Dezimalerweiterung einer rationalen Zahl ist endend, z. B. 2, 3,25 oder 1,2342, oder wiederholend, z. B. .33333… oder .123123123…. Wir können dies in der Dezimalerweiterung von pi sehen. Es gibt eine endlose Folge von Ziffern für pi, und außerdem gibt es keine Folge von Ziffern, die sich auf unbestimmte Zeit wiederholen.

Visualisierung von reellen Zahlen

Die reellen Zahlen können visualisiert werden, indem jeder von ihnen einer der unendlichen Anzahl von Punkten entlang einer geraden Linie zugeordnet wird. Die reellen Zahlen haben eine Reihenfolge, was bedeutet, dass wir für zwei verschiedene reelle Zahlen sagen können, dass eine größer ist als die andere. Konventionell entspricht das Bewegen nach links entlang der reellen Zahlenlinie immer geringeren Zahlen. Das Bewegen nach rechts entlang der reellen Zahlenlinie entspricht immer größeren Zahlen.

Grundlegende Eigenschaften der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen verhalten sich wie andere Zahlen, mit denen wir normalerweise umgehen. Wir können sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (solange wir nicht durch Null dividieren). Die Reihenfolge der Addition und Multiplikation spielt keine Rolle, da es eine kommutative Eigenschaft gibt. Eine verteilende Eigenschaft sagt uns, wie Multiplikation und Addition miteinander interagieren.

Wie bereits erwähnt, besitzen die reellen Zahlen eine Reihenfolge. Gegeben zwei reelle Zahlen x und y, Wir wissen, dass nur eine der folgenden Aussagen zutrifft:

x = y, x < y oder x > y.

Eine andere Eigenschaft - Vollständigkeit

Die Eigenschaft, die die reellen Zahlen von anderen Mengen von Zahlen unterscheidet, wie die Rationalitäten, ist eine Eigenschaft, die als Vollständigkeit bekannt ist. Vollständigkeit ist ein bisschen technisch zu erklären, aber die intuitive Vorstellung ist, dass die Menge der rationalen Zahlen Lücken enthält. Die Menge der reellen Zahlen weist keine Lücken auf, da sie vollständig ist.

Zur Veranschaulichung betrachten wir die Folge der rationalen Zahlen 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... Jeder Term dieser Folge ist eine Annäherung an pi, die durch Abschneiden der Dezimalexpansion für pi erhalten wird. Die Begriffe dieser Sequenz rücken immer näher an pi heran. Pi ist jedoch, wie bereits erwähnt, keine rationale Zahl. Wir müssen irrationale Zahlen verwenden, um die Löcher der Zahlengeraden einzufügen, die auftreten, indem wir nur die rationalen Zahlen berücksichtigen.

Wie viele reelle Zahlen?

Es ist nicht verwunderlich, dass es unendlich viele reelle Zahlen gibt. Dies ist ziemlich leicht zu erkennen, wenn man bedenkt, dass ganze Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen bilden. Wir konnten dies auch sehen, indem wir realisierten, dass die Zahlenlinie eine unendliche Anzahl von Punkten hat.

Was überrascht, ist, dass die Unendlichkeit, die zum Zählen der reellen Zahlen verwendet wird, von einer anderen Art ist als die Unendlichkeit, die zum Zählen der ganzen Zahlen verwendet wird. Ganze Zahlen, ganze Zahlen und Rationen sind unendlich. Die Menge der reellen Zahlen ist unzählig unendlich.

Warum sie echt nennen??

Reelle Zahlen erhalten ihren Namen, um sie von einer noch weiteren Verallgemeinerung des Zahlenbegriffs abzuheben. Die imaginäre Zahl ich ist definiert als die Quadratwurzel des negativen. Jede reelle Zahl multipliziert mit ich wird auch als imaginäre Zahl bezeichnet. Imaginäre Zahlen erweitern definitiv unsere Vorstellung von Zahlen, da sie überhaupt nicht das sind, woran wir gedacht haben, als wir das erste Mal zu zählen gelernt haben.