Was ist ein Sigma-Feld?

Es gibt viele Ideen aus der Mengenlehre, die die Wahrscheinlichkeit begründen. Eine solche Idee ist die eines Sigma-Feldes. Ein Sigma-Feld bezieht sich auf die Sammlung von Teilmengen eines Stichprobenraums, die wir verwenden sollten, um eine mathematisch formale Definition der Wahrscheinlichkeit zu erstellen. Die Mengen im Sigma-Feld bilden die Ereignisse aus unserem Probenraum.

Definition

Die Definition eines Sigma-Feldes erfordert, dass wir einen Probenraum haben S zusammen mit einer Sammlung von Teilmengen von S. Diese Sammlung von Teilmengen ist ein Sigma-Feld, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Ist die Teilmenge EIN ist im Sigma-Feld, dann ist auch seine Ergänzung EIN^C.
• Wenn EIN_n  Befinden sich unendlich viele Teilmengen aus dem Sigma-Feld, so liegt auch die Schnittmenge und Vereinigung aller dieser Mengen im Sigma-Feld.

Implikationen

Die Definition impliziert, dass zwei bestimmte Mengen Teil jedes Sigma-Feldes sind. Seit beidem EIN und EIN^C sind im Sigma-Feld, so ist die Kreuzung. Dieser Schnittpunkt ist die leere Menge. Daher ist die leere Menge Teil jedes Sigma-Feldes.

Der Probenraum S muss auch Teil des Sigma-Feldes sein. Der Grund dafür ist, dass die Vereinigung von EIN und EIN^C muss im Sigma-Feld sein. Diese Vereinigung ist der ProbenraumS.

Argumentation

Es gibt mehrere Gründe, warum diese Sammlung von Sets nützlich ist. Zunächst werden wir überlegen, warum sowohl die Menge als auch ihre Ergänzung Elemente der Sigma-Algebra sein sollten. Das Komplement in der Mengenlehre ist gleichbedeutend mit der Negation. Die Elemente in der Ergänzung von EIN sind die Elemente in der universellen Menge, die keine Elemente von sind EIN. Auf diese Weise stellen wir sicher, dass, wenn ein Ereignis Teil des Probenraums ist, dieses Ereignis, das nicht auftritt, auch als Ereignis im Probenraum betrachtet wird.

Wir möchten auch, dass die Vereinigung und der Schnittpunkt einer Sammlung von Mengen in der Sigma-Algebra enthalten ist, da Vereinigungen nützlich sind, um das Wort „oder“ zu modellieren EIN oder B auftritt wird vertreten durch die Vereinigung von EIN und B. In ähnlicher Weise verwenden wir die Schnittmenge, um das Wort "und" darzustellen. Das Ereignis, dass EIN und B auftritt wird durch den Schnittpunkt der Mengen dargestellt EIN und B.

Es ist unmöglich, eine unendliche Anzahl von Mengen physikalisch zu schneiden. Wir können uns dies jedoch als eine Grenze endlicher Prozesse vorstellen. Aus diesem Grund berücksichtigen wir auch die Schnittmenge und Vereinigung von zählbar vielen Teilmengen. Für viele unendliche Probenräume müssten wir unendliche Vereinigungen und Schnittmengen bilden.

Verwandte Ideen

Ein Konzept, das sich auf ein Sigma-Feld bezieht, wird als Teilmengenfeld bezeichnet. Ein Teilmengenfeld erfordert nicht, dass unzählige Vereinigungen und Schnittmengen Teil davon sind. Stattdessen müssen wir nur endliche Vereinigungen und Schnittmengen in einem Teilmengenfeld enthalten.