Was ist Kalkül? Definition und praktische Anwendungen

Kalkül ist ein Zweig der Mathematik, der das Studium von Änderungsraten beinhaltet. Bevor der Kalkül erfunden wurde, war die gesamte Mathematik statisch: Es konnte nur helfen, Objekte zu berechnen, die vollkommen still waren. Aber das Universum bewegt sich ständig und verändert sich. Keine Gegenstände - von den Sternen im Weltall bis zu subatomaren Partikeln oder Zellen im Körper - sind immer in Ruhe. In der Tat bewegt sich fast alles im Universum ständig. Mit Hilfe von Calculus konnte ermittelt werden, wie sich Partikel, Sterne und Materie tatsächlich in Echtzeit bewegen und verändern.

Calculus wird in einer Vielzahl von Bereichen verwendet, von denen Sie normalerweise nicht glauben, dass sie von seinen Konzepten Gebrauch machen würden. Darunter sind Physik, Ingenieurwissenschaften, Wirtschaftswissenschaften, Statistik und Medizin. Calculus wird auch in so unterschiedlichen Bereichen wie der Raumfahrt eingesetzt und bestimmt, wie Medikamente mit dem Körper interagieren und sogar wie sicherere Strukturen aufgebaut werden können. Sie werden verstehen, warum Kalkül in so vielen Bereichen nützlich ist, wenn Sie ein wenig über seine Geschichte wissen und wissen, wozu es entwickelt wurde und was es messen soll.

Schlüsselfaktoren: Fundamentalsatz der Analysis

• Kalkül ist das Studium der Änderungsraten.
• Gottfried Leibniz und Isaac Newton, Mathematiker des 17. Jahrhunderts, erfanden beide die Analysis unabhängig voneinander. Newton erfand es zuerst, aber Leibniz schuf die Notationen, die Mathematiker heute verwenden.
• Es gibt zwei Arten von Berechnungen: Differentialrechnung bestimmt die Änderungsrate einer Größe, während Integralrechnung die Größe findet, bei der die Änderungsrate bekannt ist.

Wer hat den Kalkül erfunden??

Die Analysis wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von den beiden Mathematikern Gottfried Leibniz und Isaac Newton entwickelt. Newton entwickelte zunächst die Analysis und wandte sie direkt auf das Verständnis physikalischer Systeme an. Unabhängig davon entwickelte Leibniz die im Kalkül verwendeten Notationen. Einfach ausgedrückt, während die grundlegende Mathematik Operationen wie Plus, Minus, Zeiten und Division (+, -, x und ÷) verwendet, verwendet die Analysis Operationen, die Funktionen und Integrale verwenden, um die Änderungsraten zu berechnen.

Diese Werkzeuge ermöglichten es Newton, Leibniz und anderen Mathematikern, Dinge wie die exakte Steigung einer Kurve an jedem Punkt zu berechnen. Die Geschichte der Mathematik erklärt die Bedeutung des Newtonschen Hauptsatzes des Kalküls:

"Im Gegensatz zur statischen Geometrie der Griechen konnten Mathematiker und Ingenieure mit Hilfe des Kalküls die Bewegung und dynamische Veränderung in der sich ändernden Welt um uns herum, wie die Umlaufbahnen von Planeten, die Bewegung von Flüssigkeiten usw., nachvollziehen."

Wissenschaftler, Astronomen, Physiker, Mathematiker und Chemiker konnten nun mithilfe von Kalkül die Umlaufbahn der Planeten und Sterne sowie den Weg der Elektronen und Protonen auf atomarer Ebene bestimmen.

Differential vs. Integralrechnung

Es gibt zwei Zweige der Analysis: Differential- und Integralrechnung. "Differentialrechnung untersucht die Ableitungs- und Integralrechnung ... das Integral", stellt das Massachusetts Institute of Technology fest. Aber es steckt noch mehr dahinter. Differentialrechnung bestimmt die Änderungsrate einer Größe. Es untersucht die Änderungsraten von Steigungen und Kurven.

Dieser Zweig befasst sich mit der Untersuchung der Änderungsrate von Funktionen in Bezug auf ihre Variablen, insbesondere unter Verwendung von Derivaten und Differentialen. Die Ableitung ist die Steigung einer Linie in einem Diagramm. Sie finden die Steigung einer Linie, indem Sie den Anstieg über den Lauf berechnen.

Die Integralrechnung hingegen sucht nach der Größe, in der die Änderungsrate bekannt ist. Dieser Zweig konzentriert sich auf solche Konzepte wie Neigungen von Tangentenlinien und Geschwindigkeiten. Während sich die Differentialrechnung auf die Kurve selbst konzentriert, beschäftigt sich die Integralrechnung mit dem Raum oder der Fläche unter die Kurve. Integralrechnung wird verwendet, um die Gesamtgröße oder den Gesamtwert wie Längen, Flächen und Volumina zu berechnen.

Das Kalkül spielte im 17. und 18. Jahrhundert eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Navigation, da die Seefahrer die Position des Mondes zur genauen Bestimmung der Ortszeit nutzen konnten. Um ihre Position auf See zu bestimmen, mussten die Navigatoren in der Lage sein, sowohl Zeit als auch Winkel genau zu messen. Vor der Entwicklung des Kalküls konnten Schiffsführer und Kapitäne beides nicht.

Abgeleitete und integrale Berechnungen halfen dabei, das Verständnis dieses wichtigen Konzepts in Bezug auf die Erdkrümmung zu verbessern. Die Schiffe mussten eine Kurve umfahren, um zu einem bestimmten Ort zu gelangen, und sogar die Ausrichtung der Erde und der Meere und Schiffe in Bezug auf die Sterne.

Praktische Anwendungen

Kalkül hat viele praktische Anwendungen im wirklichen Leben. Einige der Konzepte, die die Analysis verwenden, umfassen Bewegung, Elektrizität, Wärme, Licht, Harmonische, Akustik und Astronomie. Calculus wird in den Bereichen Geografie, Computer Vision (z. B. für autonomes Autofahren), Fotografie, künstliche Intelligenz, Robotik, Videospiele und sogar in Filmen eingesetzt. Calculus wird auch verwendet, um die Raten des radioaktiven Zerfalls in der Chemie zu berechnen und sogar Geburts- und Sterblichkeitsraten vorherzusagen sowie um die Schwerkraft und Planetenbewegung, den Flüssigkeitsfluss, das Schiffsdesign, geometrische Kurven und die Brückentechnik zu untersuchen.

In der Physik wird beispielsweise die Analysis verwendet, um Bewegung, Elektrizität, Wärme, Licht, Harmonische, Akustik, Astronomie und Dynamik zu definieren, zu erklären und zu berechnen. Einsteins Relativitätstheorie stützt sich auf die Analysis, ein Gebiet der Mathematik, mit dem Ökonomen auch vorhersagen können, wie viel Gewinn ein Unternehmen oder eine Branche erzielen kann. Und im Schiffbau wird seit vielen Jahren Kalkül verwendet, um sowohl die Krümmung des Schiffsrumpfs (unter Verwendung von Differentialkalkül) als auch die Fläche unter dem Schiffsrumpf (unter Verwendung von Integralkalkül) und sogar bei der allgemeinen Konstruktion von Schiffen zu bestimmen.

Darüber hinaus werden mit dem Kalkül Antworten für verschiedene mathematische Disziplinen wie Statistik, analytische Geometrie und Algebra überprüft.

Kalkül in der Wirtschaft

Wirtschaftswissenschaftler verwenden Kalkül, um Angebot, Nachfrage und maximale potenzielle Gewinne vorherzusagen. Angebot und Nachfrage sind im Grunde genommen auf einer Kurve dargestellt - und dabei auf einer sich ständig ändernden Kurve.

Wirtschaftswissenschaftler verwenden Kalkül, um die Preiselastizität der Nachfrage zu bestimmen. Sie bezeichnen die sich ständig ändernde Angebots- und Nachfragekurve als "elastisch" und die Auswirkungen der Kurve als "Elastizität". Um ein genaues Maß für die Elastizität an einem bestimmten Punkt einer Angebots- oder Nachfragekurve zu berechnen, müssen Sie über unendlich kleine Preisänderungen nachdenken und daher mathematische Ableitungen in Ihre Elastizitätsformeln einbeziehen. Mit Calculus können Sie bestimmte Punkte auf dieser sich ständig ändernden Angebots- und Nachfragekurve bestimmen.

Quelle

"Calculus Summary." Massachusetts Institute of Technology, 10. Januar 2000, Cambridge, MA.