Was ist Korrelation in der Statistik?

Manchmal kommen numerische Daten paarweise vor. Vielleicht misst ein Paläontologe die Länge des Oberschenkelknochens (Beinknochen) und des Oberarmknochens (Armknochen) in fünf Fossilien derselben Dinosaurierart. Es kann sinnvoll sein, die Armlängen getrennt von den Beinlängen zu betrachten und beispielsweise den Mittelwert oder die Standardabweichung zu berechnen. Was aber, wenn der Forscher neugierig ist, ob zwischen diesen beiden Messungen ein Zusammenhang besteht? Es reicht nicht aus, nur die Arme getrennt von den Beinen zu betrachten. Stattdessen sollte der Paläontologe die Knochenlängen für jedes Skelett koppeln und einen statistischen Bereich verwenden, der als Korrelation bekannt ist.

Was ist Korrelation? Nehmen wir im obigen Beispiel an, dass der Forscher die Daten studierte und das nicht sehr überraschende Ergebnis erzielte, dass Dinosaurierfossilien mit längeren Armen auch längere Beine hatten und Fossilien mit kürzeren Armen kürzere Beine hatten. Ein Streudiagramm der Daten zeigte, dass die Datenpunkte alle in der Nähe einer geraden Linie gruppiert waren. Der Forscher würde dann sagen, dass es eine starke geradlinige Beziehung gibt, oder Korrelation, zwischen den Längen der Armknochen und Beinknochen der Fossilien. Es bedarf noch einiger Arbeit, um festzustellen, wie stark die Korrelation ist.

Korrelation und Streudiagramme

Da jeder Datenpunkt zwei Zahlen darstellt, ist ein zweidimensionales Streudiagramm eine große Hilfe bei der Visualisierung der Daten. Angenommen, wir haben tatsächlich die Dinosaurierdaten in der Hand und die fünf Fossilien haben die folgenden Maße:

1. Femur 50 cm, Humerus 41 cm
2. Femur 57 cm, Humerus 61 cm
3. Femur 61 cm, Humerus 71 cm
4. Femur 66 cm, Humerus 70 cm
5. Femur 75 cm, Humerus 82 cm

Ein Streudiagramm der Daten mit Femurmessung in horizontaler Richtung und Humerusmessung in vertikaler Richtung ergibt die obige Grafik. Jeder Punkt repräsentiert die Maße eines der Skelette. Beispielsweise entspricht der Punkt unten links dem Skelett Nr. 1. Der Punkt oben rechts ist das Skelett Nr. 5.

Es sieht sicherlich so aus, als könnten wir eine gerade Linie zeichnen, die allen Punkten sehr nahe kommt. Aber wie können wir sicher sagen? Nähe liegt im Auge des Betrachters. Woher wissen wir, dass unsere Definition von "Nähe" mit jemand anderem übereinstimmt? Gibt es eine Möglichkeit, diese Nähe zu quantifizieren??

Korrelationskoeffizient

Um objektiv zu messen, wie nahe die Daten an einer geraden Linie liegen, hilft der Korrelationskoeffizient. Der Korrelationskoeffizient, typischerweise bezeichnet r, ist eine reelle Zahl zwischen -1 und 1. Der Wert von r Misst die Stärke einer Korrelation basierend auf einer Formel, wobei jegliche Subjektivität im Prozess beseitigt wird. Bei der Interpretation des Werts von sind mehrere Richtlinien zu beachten r.

• Wenn r = 0, dann sind die Punkte ein vollständiges Durcheinander ohne absolut geradlinige Beziehung zwischen den Daten.
• Wenn r = -1 oder r = 1, dann sind alle Datenpunkte perfekt auf einer Linie ausgerichtet.
• Wenn r Ist ein anderer Wert als diese Extreme, dann ist das Ergebnis eine nicht perfekte Anpassung einer geraden Linie. In realen Datensätzen ist dies das häufigste Ergebnis.
• Wenn r positiv ist, dann steigt die Linie mit einer positiven Steigung an. Wenn r negativ ist, dann fällt die Linie mit negativer Steigung ab.

Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten

Die Formel für den Korrelationskoeffizienten r ist kompliziert, wie man hier sieht. Die Bestandteile der Formel sind die Mittelwerte und Standardabweichungen beider Sätze von numerischen Daten sowie die Anzahl der Datenpunkte. Für die meisten praktischen Anwendungen r ist mühsam von Hand zu berechnen. Wenn unsere Daten mit statistischen Befehlen in einen Taschenrechner oder ein Tabellenkalkulationsprogramm eingegeben wurden, gibt es normalerweise eine integrierte Funktion zum Berechnen r.

Einschränkungen der Korrelation

Obwohl Korrelation ein mächtiges Werkzeug ist, gibt es einige Einschränkungen bei der Verwendung:

• Die Korrelation sagt nicht alles über die Daten aus. Mittelwerte und Standardabweichungen bleiben wichtig.
• Die Daten können durch eine Kurve beschrieben werden, die komplizierter ist als eine gerade Linie, aber dies wird in der Berechnung von nicht angezeigt r.
• Ausreißer beeinflussen den Korrelationskoeffizienten stark. Wenn wir in unseren Daten Ausreißer sehen, sollten wir vorsichtig sein, welche Schlussfolgerungen wir aus dem Wert von ziehen r.
• Nur weil zwei Datensätze korreliert sind, bedeutet dies nicht, dass einer die Ursache des anderen ist.