Was ist Markovs Ungleichung?

Markovs Ungleichung ist ein hilfreiches Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit, das Aufschluss über eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt. Das Bemerkenswerte daran ist, dass die Ungleichung für jede Verteilung mit positiven Werten gilt, unabhängig von den anderen Merkmalen, die sie aufweist. Markovs Ungleichung gibt eine Obergrenze für den Prozentsatz der Verteilung an, der über einem bestimmten Wert liegt.

Aussage über Markovs Ungleichung

Markovs Ungleichung besagt dies für eine positive Zufallsvariable X und jede positive reelle Zahl ein, die Wahrscheinlichkeit, dass X ist größer als oder gleich ein ist kleiner oder gleich dem erwarteten Wert von X geteilt durch ein.

Die obige Beschreibung kann unter Verwendung der mathematischen Notation prägnanter angegeben werden. In Symbolen schreiben wir Markovs Ungleichung als:

P (X ≥ ein) ≤ E( X) /ein

Illustration der Ungleichung

Nehmen wir zur Veranschaulichung der Ungleichung an, wir haben eine Verteilung mit nichtnegativen Werten (z. B. eine Chi-Quadrat-Verteilung). Ist diese Zufallsvariable X Hat der erwartete Wert 3, werden wir uns die Wahrscheinlichkeiten für einige Werte von ansehen ein.

• Zum ein = 10 Markovs Ungleichung sagt das aus P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Es besteht also eine 30% ige Wahrscheinlichkeit, dass X ist größer als 10.
• Zum ein = 30 Markovs Ungleichung sagt das aus P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Es besteht also eine 10% ige Wahrscheinlichkeit, dass X ist größer als 30.
• Zum ein = 3 Markovs Ungleichung sagt das aus P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 = 100% sind sicher. Dies besagt also, dass ein Wert der Zufallsvariablen größer oder gleich 3 ist. Dies sollte nicht zu überraschend sein. Wenn alle Werte von X weniger als 3 wäre, dann wäre der erwartete Wert auch weniger als 3.
• Als Wert von ein erhöht sich der Quotient E(X) /ein wird immer kleiner. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür sehr gering ist X ist sehr, sehr groß. Auch hier würden wir mit einem erwarteten Wert von 3 nicht erwarten, dass es einen großen Teil der Verteilung mit sehr großen Werten gibt.

Verwendung der Ungleichung

Wenn wir mehr über die Distribution wissen, mit der wir arbeiten, können wir normalerweise Markovs Ungleichung verbessern. Der Wert der Verwendung ist, dass es für jede Verteilung mit nicht negativen Werten gilt.

Zum Beispiel, wenn wir die mittlere Größe von Schülern einer Grundschule kennen. Die Ungleichung von Markov sagt uns, dass nicht mehr als ein Sechstel der Schüler eine Größe haben kann, die größer als das Sechsfache der Durchschnittsgröße ist.

Die andere wichtige Verwendung von Markovs Ungleichung ist der Nachweis von Chebyshevs Ungleichung. Diese Tatsache führt dazu, dass der Name „Chebyshevs Ungleichung“ auch auf Markovs Ungleichung angewendet wird. Die Verwechslung der Benennung der Ungleichungen ist auch auf historische Umstände zurückzuführen. Andrey Markov war der Schüler von Pafnuty Chebyshev. Chebyshevs Arbeit enthält die Ungleichung, die Markov zugeschrieben wird.