Was ist die Cauchy-Verteilung?

Eine Verteilung einer Zufallsvariablen ist nicht für ihre Anwendung wichtig, sondern für das, was sie über unsere Definitionen aussagt. Die Cauchy-Verteilung ist ein solches Beispiel, das manchmal als pathologisches Beispiel bezeichnet wird. Der Grund dafür ist, dass diese Verteilung zwar gut definiert ist und einen Zusammenhang mit einem physikalischen Phänomen hat, die Verteilung jedoch weder einen Mittelwert noch eine Varianz aufweist. Tatsächlich besitzt diese Zufallsvariable keine Momenterzeugungsfunktion.

Definition der Cauchy-Verteilung

Wir definieren die Cauchy-Verteilung, indem wir einen Kreisel betrachten, wie z. B. den Typ in einem Brettspiel. Das Zentrum dieses Spinners wird auf dem verankert y Achse am Punkt (0, 1). Nach dem Drehen des Spinners verlängern wir das Liniensegment des Spinners, bis es die x-Achse schneidet. Dies wird als Zufallsvariable definiert X.

Wir lassen w den kleineren der beiden Winkel bezeichnen, die der Spinner mit dem macht y Achse. Wir gehen davon aus, dass dieser Spinner mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen beliebigen Winkel bildet und W daher eine gleichmäßige Verteilung im Bereich von -π / 2 bis π / 2 aufweist.

Grundlegende Trigonometrie liefert uns eine Verbindung zwischen unseren beiden Zufallsvariablen:

X = bräunenW.

Die kumulative Verteilungsfunktion von X wird wie folgt abgeleitet:

H(x) = P(X < x) = P(bräunen W < x) = P(W < arctanX)

Wir nutzen dann die Tatsache, dass W ist einheitlich, und das gibt uns:

H(x) = 0,5 + (arctan x) / π

Um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu erhalten, differenzieren wir die kumulative Dichtefunktion. Das Ergebnis ist h(x) = 1/ [π (1 + x²)]

Merkmale der Cauchy-Distribution

Was die Cauchy-Verteilung interessant macht, ist, dass eine Zufallsvariable mit einer Cauchy-Verteilung keine Mittelwert-, Varianz- oder Momenterzeugungsfunktion hat, obwohl wir sie unter Verwendung des physikalischen Systems eines Zufallsspinners definiert haben. Alle Momente über den Ursprung, die zum Definieren dieser Parameter verwendet werden, sind nicht vorhanden.

Wir beginnen mit der Betrachtung des Mittelwerts. Der Mittelwert ist definiert als der erwartete Wert unserer Zufallsvariablen und somit E [X] = ∫_-∞^∞x / [π (1 + x²)] dx.

Wir integrieren durch Substitution. Wenn wir uns setzen u = 1 +x² dann sehen wir, dass du = 2x dx. Nach der Substitution konvergiert das resultierende falsche Integral nicht. Dies bedeutet, dass der erwartete Wert nicht existiert und der Mittelwert undefiniert ist.

In ähnlicher Weise sind die Varianz- und Momenterzeugungsfunktion undefiniert.

Benennung der Cauchy-Distribution

Die Cauchy-Distribution ist nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) benannt. Obwohl diese Distribution nach Cauchy benannt wurde, wurden Informationen zur Distribution erstmals von Poisson veröffentlicht.