Was ist die leere Menge in der Mengenlehre?

Wann kann nichts etwas sein? Es scheint eine dumme Frage zu sein, und ziemlich paradox. Im mathematischen Feld der Mengenlehre ist es Routine, dass nichts etwas anderes als nichts ist. Wie kann das sein?

Wenn wir eine Menge ohne Elemente bilden, haben wir nichts mehr. Wir haben ein Set mit nichts drin. Es gibt einen speziellen Namen für das Set, der keine Elemente enthält. Dies wird als leere oder Nullmenge bezeichnet.

Ein subtiler Unterschied

Die Definition der leeren Menge ist ziemlich subtil und erfordert ein wenig Nachdenken. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir eine Menge als Sammlung von Elementen betrachten. Die Menge selbst unterscheidet sich von den darin enthaltenen Elementen.

Als Beispiel betrachten wir 5, eine Menge, die das Element 5 enthält. Die Menge 5 ist keine Zahl. Es ist eine Menge mit der Zahl 5 als Element, während 5 eine Zahl ist.

In ähnlicher Weise ist die leere Menge nicht nichts. Stattdessen ist es die Menge ohne Elemente. Es ist hilfreich, sich Sets als Container vorzustellen, und die Elemente sind die Dinge, die wir in sie einfügen. Ein leerer Container ist immer noch ein Container und entspricht dem leeren Set.

Die Einzigartigkeit der leeren Menge

Das leere Set ist einzigartig, weshalb es durchaus angebracht ist, darüber zu sprechen das leeres Set, anstatt ein leeres Set. Dies unterscheidet die leere Menge von anderen Mengen. Es gibt unendlich viele Mengen mit einem Element. Die Mengen a, 1, b und 123 haben jeweils ein Element und sind daher einander äquivalent. Da sich die Elemente voneinander unterscheiden, sind die Mengen nicht gleich.

An den obigen Beispielen mit jeweils einem Element ist nichts Besonderes. Mit einer Ausnahme gibt es für jede Zählnummer oder Unendlichkeit unendlich viele Mengen dieser Größe. Die Ausnahme ist für die Zahl Null. Es gibt nur eine Menge, die leere Menge, die keine Elemente enthält.

Der mathematische Beweis dieser Tatsache ist nicht schwierig. Wir nehmen zunächst an, dass die leere Menge nicht eindeutig ist, dass es zwei Mengen ohne Elemente gibt, und verwenden dann einige Eigenschaften aus der Mengenlehre, um zu zeigen, dass diese Annahme einen Widerspruch impliziert.

Notation und Terminologie für die leere Menge

Die leere Menge wird mit dem Symbol ∅ gekennzeichnet, das von einem ähnlichen Symbol im dänischen Alphabet stammt. Einige Bücher verweisen auf die leere Menge durch den alternativen Namen der Nullmenge.

Eigenschaften des leeren Sets

Da es nur eine leere Menge gibt, lohnt es sich zu sehen, was passiert, wenn die Mengenoperationen von Schnittmenge, Vereinigung und Komplement mit der leeren Menge und einer allgemeinen Menge, die wir bezeichnen, verwendet werden X. Es ist auch interessant, eine Teilmenge der leeren Menge zu betrachten, und wann die leere Menge eine Teilmenge ist. Diese Fakten sind im Folgenden zusammengefasst:

• Der Schnittpunkt einer Menge mit der leeren Menge ist die leere Menge. Dies liegt daran, dass das leere Set keine Elemente enthält und die beiden Sets keine gemeinsamen Elemente haben. In Symbolen schreiben wir X ∩ ∅ = ∅.
• Die Vereinigung einer Menge mit der leeren Menge ist die Menge, mit der wir begonnen haben. Dies liegt daran, dass der leere Satz keine Elemente enthält und wir daher dem anderen Satz keine Elemente hinzufügen, wenn wir die Vereinigung bilden. In Symbolen schreiben wir X U ∅ = X.
• Die Ergänzung der leeren Menge ist die universelle Menge für die Einstellung, in der wir arbeiten. Dies liegt daran, dass die Menge aller Elemente, die nicht in der leeren Menge enthalten sind, nur die Menge aller Elemente ist.
• Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge. Dies liegt daran, dass wir Teilmengen einer Menge bilden X durch Auswahl (oder Nichtauswahl) von Elementen aus X. Eine Option für eine Teilmenge besteht darin, überhaupt keine Elemente von zu verwenden X. Dies gibt uns die leere Menge.