Was ist die Schiefe einer Exponentialverteilung?

Übliche Parameter für die Wahrscheinlichkeitsverteilung sind der Mittelwert und die Standardabweichung. Der Mittelwert gibt ein Maß für das Zentrum und die Standardabweichung gibt an, wie weit die Verteilung auseinander liegt. Neben diesen bekannten Parametern gibt es andere, die auf andere Merkmale als die Streuung oder das Zentrum aufmerksam machen. Eine solche Messung ist die der Schiefe. Schiefe gibt eine Möglichkeit, der Asymmetrie einer Verteilung einen numerischen Wert zuzuweisen.

Eine wichtige Verteilung, die wir untersuchen werden, ist die Exponentialverteilung. Wir werden sehen, wie wir beweisen können, dass die Schiefe einer Exponentialverteilung 2 ist.

Exponentielle Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Wir beginnen mit der Angabe der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine Exponentialverteilung. Diese Verteilungen haben jeweils einen Parameter, der sich auf den Parameter aus dem zugehörigen Poisson-Prozess bezieht. Wir bezeichnen diese Verteilung als Exp (A), wobei A der Parameter ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für diese Verteilung ist:

f(x) = e^-x/EIN/ A, wo x ist nicht negativ.

Hier e ist die mathematische Konstante e das ist ungefähr 2.718281828. Der Mittelwert und die Standardabweichung der Exponentialverteilung Exp (A) beziehen sich beide auf den Parameter A. Tatsächlich sind der Mittelwert und die Standardabweichung beide gleich A.

Definition von Schiefe

Schiefe wird durch einen Ausdruck definiert, der sich auf den dritten Moment des Mittelwerts bezieht. Dieser Ausdruck ist der erwartete Wert:

E [(X - μ)³/ σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³) / σ³ = (E [X³] - 3μ (σ² - μ³) / σ³.

Wir ersetzen μ und σ durch A, und das Ergebnis ist, dass die Schiefe E [X ist³] / EIN³ - 4.

Alles was bleibt ist, den dritten Moment über den Ursprung zu berechnen. Dazu müssen wir Folgendes integrieren:

∫^∞₀ x ³ f(x) dx.

Dieses Integral hat eine Unendlichkeit für eine seiner Grenzen. Somit kann es als ein Typ I ungeeignetes Integral bewertet werden. Wir müssen auch festlegen, welche Integrationstechnik verwendet werden soll. Da die zu integrierende Funktion das Produkt einer Polynom- und Exponentialfunktion ist, müssten wir die Integration nach Teilen verwenden. Diese Integrationstechnik wird mehrfach angewendet. Das Endergebnis ist, dass:

EX³] = 6A³

Wir kombinieren dies dann mit unserer vorherigen Gleichung für die Schiefe. Wir sehen, dass die Schiefe 6 - 4 = 2 ist.

Implikationen

Es ist wichtig zu beachten, dass das Ergebnis unabhängig von der spezifischen Exponentialverteilung ist, mit der wir beginnen. Die Schiefe der Exponentialverteilung hängt nicht vom Wert des Parameters A ab.

Darüber hinaus sehen wir, dass das Ergebnis eine positive Schiefe ist. Dies bedeutet, dass die Verteilung nach rechts verschoben ist. Dies sollte nicht überraschen, da wir über die Form des Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nachdenken. Alle derartigen Verteilungen haben einen y-Achsenabschnitt als 1 // Theta und einen Schwanz, der ganz rechts im Diagramm verläuft und hohen Werten der Variablen entspricht x.