Was ist die Standardnormalverteilung?

Glockenkurven werden in allen Statistiken angezeigt. Verschiedene Messungen wie Durchmesser der Samen, Länge der Fischflossen, Punktzahlen auf dem SAT und Gewichte einzelner Blätter eines Riesenpapiers bilden Glockenkurven, wenn sie grafisch dargestellt werden. Die allgemeine Form all dieser Kurven ist dieselbe. Alle diese Kurven sind jedoch unterschiedlich, da es sehr unwahrscheinlich ist, dass sie den gleichen Mittelwert oder die gleiche Standardabweichung aufweisen. Glockenkurven mit großen Standardabweichungen sind breit und Glockenkurven mit kleinen Standardabweichungen dünn. Glockenkurven mit größeren Mitteln werden stärker nach rechts verschoben als solche mit kleineren Mitteln.

Ein Beispiel

Um dies etwas konkreter zu machen, stellen wir uns vor, wir messen die Durchmesser von 500 Maiskörnern. Dann zeichnen wir diese Daten auf, analysieren sie und zeichnen sie grafisch auf. Es zeigt sich, dass der Datensatz die Form einer Glockenkurve hat und einen Mittelwert von 1,2 cm mit einer Standardabweichung von 0,4 cm aufweist. Nehmen wir nun an, wir machen dasselbe mit 500 Bohnen und stellen fest, dass sie einen mittleren Durchmesser von 0,8 cm mit einer Standardabweichung von 0,04 cm haben.

Die Glockenkurven dieser beiden Datensätze sind oben aufgetragen. Die rote Kurve entspricht den Mais- und die grüne Kurve den Bohnendaten. Wie wir sehen können, sind die Zentren und Spreads dieser beiden Kurven unterschiedlich.

Dies sind eindeutig zwei unterschiedliche Glockenkurven. Sie unterscheiden sich, weil ihre Mittelwerte und Standardabweichungen nicht übereinstimmen. Da alle interessanten Datensätze, auf die wir stoßen, eine positive Zahl als Standardabweichung und eine beliebige Zahl für einen Mittelwert haben können, kratzen wir wirklich nur an der Oberfläche eines unendlich Anzahl der Glockenkurven. Das sind viele Kurven und viel zu viele, um damit fertig zu werden. Was ist die Lösung?

Eine ganz besondere Glockenkurve

Ein Ziel der Mathematik ist es, Dinge zu verallgemeinern, wann immer dies möglich ist. Manchmal sind mehrere Einzelprobleme Spezialfälle eines einzelnen Problems. Diese Situation mit Glockenkurven ist ein gutes Beispiel dafür. Anstatt mit einer unendlichen Anzahl von Glockenkurven umzugehen, können wir sie alle auf eine einzelne Kurve beziehen. Diese spezielle Glockenkurve wird als Standardglockenkurve oder Standardnormalverteilung bezeichnet.

Die Standardglockenkurve hat einen Mittelwert von Null und eine Standardabweichung von Eins. Jede andere Glockenkurve kann durch eine einfache Berechnung mit dieser Norm verglichen werden.

Merkmale der Standardnormalverteilung

Alle Eigenschaften einer Glockenkurve gelten für die Standardnormalverteilung.

• Die Standardnormalverteilung hat nicht nur einen Mittelwert von Null, sondern auch einen Median und einen Modus von Null. Dies ist der Mittelpunkt der Kurve.
• Die Standardnormalverteilung zeigt Spiegelsymmetrie bei Null. Die Hälfte der Kurve befindet sich links von Null und die Hälfte der Kurve befindet sich rechts. Wenn die Kurve entlang einer vertikalen Linie bei Null gefaltet würde, würden beide Hälften perfekt zusammenpassen.
• Die Standardnormalverteilung folgt der 68-95-99.7-Regel, mit der wir leicht Folgendes abschätzen können:
  • Ungefähr 68% aller Daten liegen zwischen -1 und 1.
  • Ungefähr 95% aller Daten liegen zwischen -2 und 2.
  • Ungefähr 99,7% aller Daten liegen zwischen -3 und 3.

Warum wir uns interessieren

An diesem Punkt fragen wir uns vielleicht: „Warum sollte man sich mit einer Standardglockenkurve beschäftigen?“ Es mag als unnötige Komplikation erscheinen, aber die Standardglockenkurve wird von Vorteil sein, wenn wir in der Statistik fortfahren.

Wir werden feststellen, dass eine Art von Problem in der Statistik es erforderlich macht, Bereiche unter Teilen einer Glockenkurve zu finden, auf die wir stoßen. Die Glockenkurve ist keine schöne Form für Bereiche. Es ist kein Rechteck oder rechtwinkliges Dreieck mit einfachen Flächenformeln. Das Finden von Bereichen von Teilen einer Glockenkurve kann schwierig sein, so schwierig, dass wir einen Kalkül verwenden müssten. Wenn wir unsere Glockenkurven nicht standardisieren, müssten wir jedes Mal Berechnungen durchführen, wenn wir einen Bereich finden möchten. Wenn wir unsere Kurven standardisieren, wurde die gesamte Arbeit zur Berechnung der Flächen für uns erledigt.