Was ist das St. Petersburg Paradoxon?

Sie sind auf den Straßen von St. Petersburg, Russland, und ein alter Mann schlägt das folgende Spiel vor. Er wirft eine Münze um (und leiht sich eine von Ihnen aus, wenn Sie nicht glauben, dass es sich um eine faire handelt). Wenn es landet, verlierst du und das Spiel ist zu Ende. Wenn die Münze oben landet, gewinnt man einen Rubel und das Spiel geht weiter. Die Münze wird erneut geworfen. Wenn es Schwänze sind, endet das Spiel. Wenn es Köpfe sind, gewinnen Sie zusätzlich zwei Rubel. Das Spiel geht auf diese Weise weiter. Für jeden weiteren Kopf verdoppeln wir unsere Gewinne aus der vorherigen Runde, aber im Zeichen des ersten Endes ist das Spiel beendet.

Wie viel würdest du bezahlen, um dieses Spiel zu spielen? Wenn wir den erwarteten Wert dieses Spiels betrachten, sollten Sie die Chance ergreifen, egal wie hoch die Kosten für das Spielen sind. Aus der obigen Beschreibung geht jedoch hervor, dass Sie wahrscheinlich nicht bereit wären, viel zu bezahlen. Immerhin gibt es eine 50% ige Wahrscheinlichkeit, nichts zu gewinnen. Dies ist das sogenannte St. Petersburg-Paradoxon, das nach der Veröffentlichung von Daniel Bernoulli im Jahr 1738 benannt wurde Kommentare der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften von Sankt Petersburg.

Einige Wahrscheinlichkeiten

Beginnen wir mit der Berechnung der mit diesem Spiel verbundenen Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine faire Münze Heads-up landet, ist 1/2. Jeder Münzwurf ist ein eigenständiges Ereignis und so multiplizieren wir Wahrscheinlichkeiten möglicherweise mit Hilfe eines Baumdiagramms.

• Die Wahrscheinlichkeit von zwei Köpfen in einer Reihe ist (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Die Wahrscheinlichkeit von drei Köpfen in einer Reihe ist (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Die Wahrscheinlichkeit von ausdrücken n Köpfe in einer Reihe, wo n ist eine positive ganze Zahl, die wir mit Exponenten 1/2 schreibenⁿ.

Einige Auszahlungen

Nun wollen wir weitermachen und sehen, ob wir die Gewinne in jeder Runde verallgemeinern können.

• Wenn Sie in der ersten Runde einen Kopf haben, gewinnen Sie einen Rubel für diese Runde.
• Wenn es in der zweiten Runde einen Kopf gibt, gewinnt man in dieser Runde zwei Rubel.
• Wenn es in der dritten Runde einen Kopf gibt, gewinnt man in dieser Runde vier Rubel.
• Wenn Sie das Glück hatten, es bis zum n^th Runde, dann gewinnen Sie 2^n-1 Rubel in dieser Runde.

Erwarteter Wert des Spiels

Der erwartete Wert eines Spiels sagt uns, wie hoch der durchschnittliche Gewinn wäre, wenn Sie das Spiel viele, viele Male gespielt hätten. Um den erwarteten Wert zu berechnen, multiplizieren wir den Wert der Gewinne aus jeder Runde mit der Wahrscheinlichkeit, diese Runde zu erreichen, und addieren dann alle diese Produkte.

• Ab der ersten Runde haben Sie die Wahrscheinlichkeit 1/2 und Gewinne von 1 Rubel: 1/2 x 1 = 1/2
• Ab der zweiten Runde haben Sie eine Wahrscheinlichkeit von 1/4 und einen Gewinn von 2 Rubel: 1/4 x 2 = 1/2
• Ab der ersten Runde haben Sie eine Wahrscheinlichkeit von 1/8 und einen Gewinn von 4 Rubel: 1/8 x 4 = 1/2
• Ab der ersten Runde haben Sie eine Wahrscheinlichkeit von 1/16 und einen Gewinn von 8 Rubel: 1/16 x 8 = 1/2
• Ab der ersten Runde haben Sie die Wahrscheinlichkeit 1/2ⁿ und Gewinne von 2^n-1 Rubel: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Der Wert aus jeder Runde ist 1/2 und addiert die Ergebnisse aus der ersten Runde n Runden zusammen ergibt einen Erwartungswert von n/ 2 Rubel. Schon seit n kann eine beliebige positive ganze Zahl sein, der erwartete Wert ist unbegrenzt.

Das Paradox

Also, was solltest du bezahlen, um zu spielen? Ein Rubel, tausend Rubel oder sogar eine Milliarde Rubel wären auf lange Sicht weniger als der erwartete Wert. Trotz der oben genannten Berechnung, die unsagbaren Reichtum verspricht, würden wir alle immer noch zögern, sehr viel für das Spielen zu bezahlen.

Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, das Paradoxon aufzulösen. Eine der einfacheren Möglichkeiten ist, dass niemand ein Spiel wie das oben beschriebene anbieten würde. Niemand hat die unendlichen Ressourcen, die nötig sind, um jemanden zu bezahlen, der weiterhin die Köpfe umdreht.

Eine andere Möglichkeit, das Paradoxon zu lösen, besteht darin, darauf hinzuweisen, wie unwahrscheinlich es ist, etwa 20 Köpfe hintereinander zu haben. Die Chancen dafür stehen besser, als die meisten staatlichen Lotterien zu gewinnen. Leute spielen routinemäßig solche Lotterien für fünf Dollar oder weniger. Der Preis für das Spiel in St. Petersburg sollte also wahrscheinlich ein paar Dollar nicht überschreiten.

Wenn der Mann in St. Petersburg sagt, dass es mehr als ein paar Rubel kostet, sein Spiel zu spielen, sollten Sie sich höflich weigern und weggehen. Rubel sind sowieso nicht viel wert.