Ein Beispiel für einen Chi-Quadrat-Test für ein multinomiales Experiment
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Eine Verwendung einer Chi-Quadrat-Verteilung sind Hypothesentests für multinomiale Experimente. Um zu sehen, wie dieser Hypothesentest funktioniert, werden wir die folgenden zwei Beispiele untersuchen. In beiden Beispielen werden dieselben Schritte ausgeführt:
- Bilden Sie die Null- und Alternativhypothese
- Berechnen Sie die Teststatistik
- Finden Sie den kritischen Wert
- Treffen Sie eine Entscheidung, ob Sie unsere Nullhypothese ablehnen oder nicht ablehnen.
Beispiel 1: Eine faire Münze
Für unser erstes Beispiel wollen wir uns eine Münze ansehen. Eine faire Münze hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass 1/2 Kopf oder Zahl auftaucht. Wir werfen 1000 Mal eine Münze und zeichnen die Ergebnisse von insgesamt 580 Köpfen und 420 Schwänzen auf. Wir wollen die Hypothese auf ein 95% iges Maß an Sicherheit prüfen, dass die Münze, die wir geworfen haben, fair ist. Genauer gesagt, die Nullhypothese H0 ist, dass die Münze fair ist. Da wir beobachtete Häufigkeiten von Ergebnissen eines Münzwurfs mit den erwarteten Häufigkeiten einer idealisierten fairen Münze vergleichen, sollte ein Chi-Quadrat-Test verwendet werden.
Berechnen Sie die Chi-Quadrat-Statistik
Wir beginnen mit der Berechnung der Chi-Quadrat-Statistik für dieses Szenario. Es gibt zwei Ereignisse, Kopf und Zahl. Heads hat eine beobachtete Häufigkeit von f1 = 580 mit der erwarteten Häufigkeit von e1 = 50% x 1000 = 500. Schwänze haben eine beobachtete Häufigkeit von f2 = 420 mit einer erwarteten Häufigkeit von e1 = 500.
Wir verwenden nun die Formel für die Chi-Quadrat-Statistik und sehen, dass χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/ 500 + (-80)2/ 500 = 25,6.
Finden Sie den kritischen Wert
Als nächstes müssen wir den kritischen Wert für die richtige Chi-Quadrat-Verteilung finden. Da es zwei Ergebnisse für die Münze gibt, müssen zwei Kategorien berücksichtigt werden. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist eins weniger als die Anzahl der Kategorien: 2 - 1 = 1. Wir verwenden die Chi-Quadrat-Verteilung für diese Anzahl von Freiheitsgraden und sehen, dass χ20,95= 3,841.
Ablehnen oder nicht ablehnen?
Zuletzt vergleichen wir die berechnete Chi-Quadrat-Statistik mit dem kritischen Wert aus der Tabelle. Seit 25.6> 3.841 lehnen wir die Nullhypothese ab, dass dies eine faire Münze ist.
Beispiel 2: Ein gerechter Würfel
Ein fairer Würfel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass 1/6 eine Eins, zwei, drei, vier, fünf oder sechs würfelt. Wir würfeln 600-mal und stellen fest, dass wir 106-mal, 90-mal, 98-mal, 102-mal, 100-mal und 104-mal würfeln. Wir wollen die Hypothese mit 95% iger Sicherheit auf den Prüfstand stellen, dass wir einen fairen Würfel haben.
Berechnen Sie die Chi-Quadrat-Statistik
Es gibt sechs Ereignisse mit einer erwarteten Frequenz von 1/6 x 600 = 100. Die beobachteten Frequenzen sind f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Wir verwenden nun die Formel für die Chi-Quadrat-Statistik und sehen, dass χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1,6.
Finden Sie den kritischen Wert
Als nächstes müssen wir den kritischen Wert für die richtige Chi-Quadrat-Verteilung finden. Da es für den Würfel sechs Kategorien von Ergebnissen gibt, ist die Anzahl der Freiheitsgrade eins weniger als dies: 6 - 1 = 5. Wir verwenden die Chi-Quadrat-Verteilung für fünf Freiheitsgrade und sehen, dass χ20,95= 11,071.
Ablehnen oder nicht ablehnen?
Zuletzt vergleichen wir die berechnete Chi-Quadrat-Statistik mit dem kritischen Wert aus der Tabelle. Da die berechnete Chi-Quadrat-Statistik 1,6 weniger als unser kritischer Wert von 11,071 ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen.
