Berechnungen mit der Gamma-Funktion

Die Gammafunktion wird durch die folgende kompliziert aussehende Formel definiert:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Eine Frage, die die Leute haben, wenn sie zum ersten Mal auf diese verwirrende Gleichung stoßen, lautet: „Wie verwenden Sie diese Formel, um Werte der Gammafunktion zu berechnen?“ Dies ist eine wichtige Frage, da es schwierig ist zu wissen, was diese Funktion überhaupt bedeutet und was alles die symbole stehen für.

Eine Möglichkeit, diese Frage zu beantworten, besteht darin, mehrere Beispielberechnungen mit der Gammafunktion zu betrachten. Bevor wir dies tun, müssen wir einige Dinge aus dem Kalkül wissen, z. B. wie man ein falsches Integral vom Typ I integriert und dass e eine mathematische Konstante ist. 

Motivation

Bevor wir irgendwelche Berechnungen durchführen, untersuchen wir die Motivation hinter diesen Berechnungen. Oftmals werden die Gammafunktionen hinter den Kulissen angezeigt. In Bezug auf die Gammafunktion werden mehrere Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen angegeben. Beispiele hierfür sind die Gammaverteilung und die T-Verteilung der Schüler. Die Bedeutung der Gammafunktion kann nicht überbewertet werden. 

Γ (1)

Die erste Beispielberechnung, die wir untersuchen werden, besteht darin, den Wert der Gammafunktion für Γ (1) zu ermitteln. Dies wird durch Einstellen gefunden z = 1 in der obigen Formel:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Wir berechnen das obige Integral in zwei Schritten:

• Das unbestimmte Integral ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Dies ist ein falsches Integral, also haben wir ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Γ (2)

Die nächste Beispielberechnung, die wir betrachten, ähnelt der des letzten Beispiels, aber wir erhöhen den Wert von z Wir berechnen nun den Wert der Gammafunktion für Γ (2) durch Setzen z = 2 in der obigen Formel. Die Schritte sind die gleichen wie oben:

Γ (2) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Das unbestimmte Integral ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Obwohl wir den Wert von nur erhöht haben z um 1 ist mehr Arbeit erforderlich, um dieses Integral zu berechnen. Um dieses Integral zu finden, müssen wir eine Technik aus dem Kalkül verwenden, die als Teilintegration bekannt ist. Wir verwenden jetzt die oben genannten Integrationsgrenzen und müssen Folgendes berechnen:

lim_{b → ∞} - Sein ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Ein Ergebnis aus der als L'Hospital'schen Regel bekannten Berechnung erlaubt es uns, den Grenzwert zu berechnen_{b → ∞} - Sein ^{- b} = 0. Dies bedeutet, dass der Wert unseres obigen Integrals 1 ist.

Γ (z +1) =zΓ (z )

Ein weiteres Merkmal der Gammafunktion und eines, das sie mit der Fakultät verbindet, ist die Formel Γ (z +1) =zΓ (z ) zum z jede komplexe Zahl mit einem positiven Realteil. Der Grund, warum dies zutrifft, ist ein direktes Ergebnis der Formel für die Gammafunktion. Durch die Verwendung von Teilintegration können wir diese Eigenschaft der Gammafunktion herstellen.