Erwarteter Wert für Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck ist ein Glücksspiel. Drei Würfel werden gewürfelt, manchmal in einem Drahtrahmen. Aufgrund dieses Rahmens wird dieses Spiel auch als Vogelkäfig bezeichnet. Dieses Spiel wird eher in Karnevalen als in Casinos gespielt. Aufgrund der Verwendung von zufälligen Würfeln können wir die Wahrscheinlichkeit verwenden, um dieses Spiel zu analysieren. Genauer gesagt können wir den erwarteten Wert dieses Spiels berechnen.

Einsätze

Es gibt verschiedene Arten von Einsätzen, auf die man wetten kann. Wir werden nur den Einsatz mit einer einzigen Zahl betrachten. Bei diesem Einsatz wählen wir einfach eine bestimmte Zahl zwischen eins und sechs. Dann würfeln wir. Betrachten Sie die Möglichkeiten. Alle Würfel, zwei von ihnen, einer von ihnen oder keiner, konnten die Zahl zeigen, die wir gewählt haben.

Angenommen, dieses Spiel zahlt Folgendes:

• 3 $, wenn alle drei Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmen.
• $ 2, wenn genau zwei Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmen.
• 1 $, wenn genau einer der Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmt.

Wenn keiner der Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmt, müssen wir 1 $ bezahlen.

Was ist der erwartete Wert dieses Spiels? Mit anderen Worten, auf lange Sicht würden wir erwarten, wie viel im Durchschnitt zu gewinnen oder zu verlieren, wenn wir dieses Spiel wiederholt spielen würden?

Wahrscheinlichkeiten

Um den erwarteten Wert dieses Spiels zu finden, müssen wir vier Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Diese Wahrscheinlichkeiten entsprechen den vier möglichen Ergebnissen. Wir stellen fest, dass jeder Würfel unabhängig von den anderen ist. Aufgrund dieser Unabhängigkeit verwenden wir die Multiplikationsregel. Dies hilft uns bei der Bestimmung der Anzahl der Ergebnisse.

Wir gehen auch davon aus, dass die Würfel fair sind. Es ist gleich wahrscheinlich, dass jede der sechs Seiten auf jedem der drei Würfel gewürfelt wird.

Es gibt 6 x 6 x 6 = 216 mögliche Ergebnisse, wenn diese drei Würfel gewürfelt werden. Diese Zahl ist der Nenner für alle unsere Wahrscheinlichkeiten.

Es gibt eine Möglichkeit, alle drei Würfel mit der gewählten Nummer zu verbinden.

Es gibt fünf Möglichkeiten, wie ein einzelner Würfel nicht mit unserer gewählten Nummer übereinstimmt. Dies bedeutet, dass es 5 x 5 x 5 = 125 Möglichkeiten gibt, dass keiner unserer Würfel mit der gewählten Zahl übereinstimmt.

Wenn wir genau zwei der Würfel als übereinstimmend betrachten, haben wir einen Würfel, der nicht übereinstimmt.

• Es gibt 1 x 1 x 5 = 5 Möglichkeiten, wie die ersten beiden Würfel mit unserer Nummer übereinstimmen und der dritte Würfel unterschiedlich sein kann.
• Es gibt 1 x 5 x 1 = 5 Möglichkeiten, wie der erste und der dritte Würfel übereinstimmen, wobei der zweite unterschiedlich sein kann.
• Es gibt 5 x 1 x 1 = 5 Möglichkeiten, wie sich der erste Würfel unterscheidet und der zweite und der dritte übereinstimmen.

Das bedeutet, dass es insgesamt 15 Möglichkeiten gibt, genau zwei Würfel zusammenzubringen.

Wir haben nun die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, um alle bis auf eines unserer Ergebnisse zu erhalten. Es sind 216 Rollen möglich. Wir haben 1 + 15 + 125 = 141 von ihnen berücksichtigt. Dies bedeutet, dass 216 bis 141 = 75 übrig sind.

Wir sammeln alle oben genannten Informationen und sehen:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl mit allen drei Würfeln übereinstimmt, ist 1/216.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl genau zwei Würfeln entspricht, ist 15/216.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl genau einem Würfel entspricht, ist 75/216.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Zahl mit keinem der Würfel übereinstimmt, beträgt 125/216.

Erwarteter Wert

Wir sind jetzt bereit, den erwarteten Wert dieser Situation zu berechnen. Die Formel für den erwarteten Wert erfordert, dass wir die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses mit dem Nettogewinn oder -verlust multiplizieren, wenn das Ereignis eintritt. Wir addieren dann alle diese Produkte.

Die Berechnung des Erwartungswertes sieht wie folgt aus:

(3) (1/216) + (2) (15/216) + (1) (75/216) + (- 1) (125/216) = 3/216 + 30/216 + 75/216 - 125 / 216 = -17/216

Dies ist ungefähr - $ 0,08. Die Interpretation ist, dass, wenn wir dieses Spiel wiederholt spielen würden, wir durchschnittlich 8 Cent jedes Mal verlieren würden, wenn wir spielten.