Erwarteter Wert einer Binomialverteilung

Binomialverteilungen sind eine wichtige Klasse diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese Arten von Distributionen sind eine Reihe von n unabhängige Bernoulli-Versuche, von denen jeder eine konstante Wahrscheinlichkeit hat p des Erfolgs. Wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung möchten wir wissen, was ihr Mittelwert oder Mittelpunkt ist. Dazu fragen wir uns wirklich: "Was ist der erwartete Wert der Binomialverteilung?"

Intuition vs. Beweis

Wenn wir sorgfältig über eine Binomialverteilung nachdenken, ist es nicht schwierig, den erwarteten Wert dieser Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen np. Betrachten Sie für ein paar kurze Beispiele das Folgende:

• Wenn wir 100 Münzen werfen, und X ist die Anzahl der Köpfe, der erwartete Wert von X ist 50 = (1/2) 100.
• Wenn wir einen Multiple-Choice-Test mit 20 Fragen durchführen und jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat (von denen nur eine richtig ist), würde zufälliges Erraten bedeuten, dass wir nur (1/4) 20 = 5 richtige Fragen erwarten.

In beiden Beispielen sehen wir das E [X] = n p. Zwei Fälle reichen kaum aus, um zu einer Schlussfolgerung zu gelangen. Obwohl Intuition ein gutes Hilfsmittel ist, um uns zu führen, reicht es nicht aus, ein mathematisches Argument zu bilden und zu beweisen, dass etwas wahr ist. Wie können wir definitiv beweisen, dass der erwartete Wert dieser Verteilung tatsächlich ist? np?

Aus der Definition des Erwartungswertes und der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für die Binomialverteilung von n Versuche der Erfolgswahrscheinlichkeit p, Wir können zeigen, dass unsere Intuition mit den Früchten der mathematischen Strenge übereinstimmt. Wir müssen bei unserer Arbeit etwas vorsichtig sein und den Binomialkoeffizienten, der durch die Formel für Kombinationen gegeben ist, geschickt manipulieren.

Wir beginnen mit der Formel:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^x(1-p)^{n - x}.

Da jeder Term der Summation mit multipliziert wird x, der Wert des Begriffs entspricht x = 0 wird 0 sein, und so können wir tatsächlich schreiben:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^x (1 - p) ^{n - x} .

Durch Manipulieren der Fakultäten, die am Ausdruck für beteiligt sind C (n, x) wir können umschreiben

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Das ist wahr, weil:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1)!) = nC (n - 1, x - 1).

Es folgt dem:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^x (1 - p) ^{n - x} .

Wir ziehen das heraus n und ein p Aus dem obigen Ausdruck: