Wie man Backgammon-Wahrscheinlichkeiten berechnet

Backgammon ist ein Spiel, bei dem zwei Standardwürfel verwendet werden. Die Würfel, die in diesem Spiel verwendet werden, sind sechsseitige Würfel und die Gesichter eines Würfels haben einen, zwei, drei, vier, fünf oder sechs Pips. Während einer Runde Backgammon darf ein Spieler seine Steine ​​oder Züge gemäß den auf den Würfeln angegebenen Zahlen bewegen. Die gewürfelten Zahlen können auf zwei Steine ​​aufgeteilt werden, oder sie können summiert und für einen einzelnen Stein verwendet werden. Wenn zum Beispiel eine 4 und eine 5 gewürfelt werden, hat ein Spieler zwei Möglichkeiten: Er darf einen Stein um vier Felder und einen anderen um fünf Felder verschieben, oder ein Stein kann insgesamt um neun Felder verschoben werden.

Um Strategien im Backgammon zu formulieren, ist es hilfreich, einige grundlegende Wahrscheinlichkeiten zu kennen. Da ein Spieler mit ein oder zwei Würfeln einen bestimmten Stein bewegen kann, wird dies bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt. Für unsere Backgammon-Wahrscheinlichkeiten beantworten wir die Frage: „Wenn wir zwei Würfel werfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl gewürfelt wird n als Summe von zwei Würfeln oder auf mindestens einem der beiden Würfel? “

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten

Bei einem einzelnen Würfel, der nicht beladen ist, wird jede Seite mit gleicher Wahrscheinlichkeit offen landen. Ein einzelner Chip bildet einen einheitlichen Probenraum. Es gibt insgesamt sechs Ergebnisse, die jeder der ganzen Zahlen von 1 bis 6 entsprechen. Somit hat jede Zahl eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 des Auftretens.

Wenn wir zwei Würfel werfen, ist jeder Würfel unabhängig vom anderen. Wenn wir die Reihenfolge verfolgen, in der die Anzahl der Würfel vorkommt, ergeben sich insgesamt 6 x 6 = 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Somit ist 36 der Nenner für alle unsere Wahrscheinlichkeiten und jedes bestimmte Ergebnis von zwei Würfeln hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.

Mindestens eine Nummer rollen

Die Wahrscheinlichkeit, zwei Würfel zu werfen und mindestens einen von einer Zahl von 1 bis 6 zu erhalten, ist einfach zu berechnen. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen möchten, mindestens eine 2 mit zwei Würfeln zu würfeln, müssen wir wissen, wie viele der 36 möglichen Ergebnisse mindestens eine 2 enthalten.

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2 , 4), (2, 5), (2, 6)

Es gibt also 11 Möglichkeiten, mindestens eine 2 mit zwei Würfeln zu würfeln, und die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 2 mit zwei Würfeln zu würfeln, beträgt 11/36.

An 2 ist in der vorangegangenen Diskussion nichts Besonderes. Für eine beliebige Anzahl n von 1 bis 6:

• Es gibt fünf Möglichkeiten, genau eine dieser Zahlen auf dem ersten Würfel zu würfeln.
• Es gibt fünf Möglichkeiten, genau eine dieser Zahlen auf dem zweiten Würfel zu würfeln.
• Es gibt eine Möglichkeit, diese Zahl auf beiden Würfeln zu würfeln.

Daher gibt es 11 Möglichkeiten, mindestens eine zu würfeln n von 1 bis 6 mit zwei Würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 11/36.

Eine bestimmte Summe würfeln

Jede Zahl von zwei bis 12 kann als Summe von zwei Würfeln erhalten werden. Die Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfel sind etwas schwieriger zu berechnen. Da es verschiedene Wege gibt, diese Summen zu erreichen, bilden sie keinen einheitlichen Probenraum. Zum Beispiel gibt es drei Möglichkeiten, eine Summe von vier zu würfeln: (1, 3), (2, 2), (3, 1), aber nur zwei Möglichkeiten, eine Summe von 11 zu würfeln: (5, 6), ( 6, 5).

Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe einer bestimmten Zahl zu würfeln, ist wie folgt:

• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von zwei zu würfeln, beträgt 1/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von drei zu würfeln, beträgt 2/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von vier zu würfeln, beträgt 3/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von fünf zu würfeln, beträgt 4/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von sechs zu würfeln, beträgt 5/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von sieben zu würfeln, beträgt 6/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von acht zu würfeln, beträgt 5/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Neun zu würfeln, beträgt 4/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von zehn zu würfeln, beträgt 3/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von elf zu würfeln, beträgt 2/36.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von zwölf zu würfeln, beträgt 1/36.

Backgammon-Wahrscheinlichkeiten

Endlich haben wir alles, was wir brauchen, um die Wahrscheinlichkeiten für Backgammon zu berechnen. Das Werfen von mindestens einer Zahl schließt sich gegenseitig aus, wenn diese Zahl als Summe von zwei Würfeln gewürfelt wird. Daher können wir die Additionsregel verwenden, um die Wahrscheinlichkeiten zu addieren, um eine beliebige Zahl von 2 bis 6 zu erhalten.

Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 von zwei Würfeln zu würfeln, 11/36. Eine 6 als Summe von zwei Würfeln zu würfeln ist 5/36. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 oder eine Sechs als Summe von zwei Würfeln zu würfeln, beträgt 11/36 + 5/36 = 16/36. Andere Wahrscheinlichkeiten können auf ähnliche Weise berechnet werden.