Wie man Powerball-Wahrscheinlichkeiten berechnet

Powerball ist eine mehrstufige Lotterie, die aufgrund ihrer millionenschweren Jackpots sehr beliebt ist. Einige dieser Jackpots erreichen Werte, die weit über 100 Millionen US-Dollar liegen. Eine interessante Frage aus probabilistischer Sicht lautet: "Wie werden die Gewinnchancen für Powerball berechnet?"

Die Regeln

Zuerst werden wir die Regeln von Powerball untersuchen, wie es derzeit konfiguriert ist. Während jeder Zeichnung werden zwei Trommeln mit Kugeln gründlich gemischt und zufällig ausgewählt. Die erste Trommel enthält weiße Kugeln mit den Nummern 1 bis 59. Von dieser Trommel werden fünf ersatzlos gezogen. Die zweite Trommel hat rote Kugeln, die von 1 bis 35 nummeriert sind. Eine davon ist gezogen. Ziel ist es, so viele dieser Zahlen wie möglich zu finden.

Die Preise

Der volle Jackpot ist gewonnen, wenn alle sechs von einem Spieler ausgewählten Zahlen perfekt mit den gezogenen Bällen übereinstimmen. Es gibt Preise mit geringeren Werten für partielles Matching. Insgesamt gibt es neun verschiedene Möglichkeiten, um einen bestimmten Dollarbetrag bei Powerball zu gewinnen. Diese Gewinnmöglichkeiten sind:

• Wenn Sie alle fünf weißen Bälle mit dem roten Ball kombinieren, gewinnen Sie den Hauptgewinn-Jackpot. Der Wert variiert je nachdem, wie lange es her ist, dass jemand diesen Hauptpreis gewonnen hat.
• Wenn Sie alle fünf weißen Kugeln, aber nicht die rote Kugel, treffen, gewinnen Sie 1.000.000 USD.
• Wenn Sie genau vier der fünf weißen Bälle mit dem roten Ball kombinieren, gewinnen Sie 10.000 US-Dollar.
• Wenn Sie genau vier der fünf weißen Kugeln, aber nicht die rote Kugel treffen, gewinnen Sie 100 $.
• Wenn genau drei der fünf weißen Bälle mit dem roten Ball übereinstimmen, gewinnen Sie 100 $.
• Wenn Sie genau drei der fünf weißen Bälle, aber nicht den roten Ball treffen, gewinnen Sie $ 7.
• Wenn Sie genau zwei der fünf weißen und die rote Kugel treffen, gewinnen Sie $ 7.
• Wenn Sie genau einen der fünf weißen und den roten Bälle treffen, gewinnen Sie 4 $.
• Wenn Sie nur die rote Kugel, aber keine der weißen Kugeln treffen, gewinnen Sie 4 $.

Wir werden uns ansehen, wie jede dieser Wahrscheinlichkeiten berechnet wird. Bei diesen Berechnungen ist zu beachten, dass die Reihenfolge, in der die Kugeln aus der Trommel kommen, nicht wichtig ist. Das Einzige, was zählt, ist die Menge der gezogenen Bälle. Aus diesem Grund beziehen sich unsere Berechnungen auf Kombinationen und nicht auf Permutationen.

In jeder folgenden Berechnung ist auch die Gesamtzahl der Kombinationen nützlich, die gezeichnet werden können. Wir haben fünf aus den 59 weißen Kugeln ausgewählt oder unter Verwendung der Notation für Kombinationen C (59, 5) = 5.006.386 Möglichkeiten, um dies zu erreichen. Es gibt 35 Möglichkeiten, den roten Ball auszuwählen, was zu 35 x 5.006.386 = 175.223.510 möglichen Auswahlen führt.

Jackpot

Obwohl es am schwierigsten ist, den Jackpot für alle sechs Bälle zu erzielen, ist er mit der einfachsten Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Aus der Vielzahl von 175.223.510 möglichen Auswahlen gibt es genau einen Weg, um den Jackpot zu gewinnen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ticket den Jackpot gewinnt, 1 / 175,223,510.

Fünf weiße Kugeln

Um 1.000.000 $ zu gewinnen, müssen wir die fünf weißen Bälle, aber nicht den roten, angleichen. Es gibt nur einen Weg, um alle fünf zu finden. Es gibt 34 Möglichkeiten, den roten Ball nicht zu treffen. Die Wahrscheinlichkeit, 1.000.000 $ zu gewinnen, liegt bei 34 / 175.223.510 oder ungefähr 1 / 5.153.633.

Vier weiße Kugeln und eine rote

Bei einem Preisgeld von 10.000 US-Dollar müssen wir vier der fünf weißen und die rote Kugel aufeinander abstimmen. Es gibt C (5,4) = 5 Möglichkeiten, um vier der fünf zu finden. Die fünfte Kugel muss eine der verbleibenden 54 sein, die nicht gezogen wurden. Daher gibt es C (54, 1) = 54 Möglichkeiten, wie dies geschehen kann. Es gibt nur einen Weg, um den roten Ball zu treffen. Dies bedeutet, dass es 5 x 54 x 1 = 270 Möglichkeiten gibt, genau vier weiße und die rote Kugel zusammenzubringen, was eine Wahrscheinlichkeit von 270 / 175,223,510 oder ungefähr 1 / 648,976 ergibt.

Vier weiße Kugeln und kein Rot

Eine Möglichkeit, einen Preis von 100 $ zu gewinnen, besteht darin, vier der fünf weißen Bälle und nicht den roten zu spielen. Wie im vorherigen Fall gibt es C (5,4) = 5 Möglichkeiten, um vier der fünf zuzuordnen. Die fünfte Kugel muss eine der verbleibenden 54 sein, die nicht gezogen wurden. Daher gibt es C (54, 1) = 54 Möglichkeiten, wie dies geschehen kann. Dieses Mal gibt es 34 Möglichkeiten, den roten Ball nicht zu treffen. Dies bedeutet, dass es 5 x 54 x 34 = 9180 Möglichkeiten gibt, genau vier weiße Kugeln, aber nicht die rote, zusammenzubringen, was eine Wahrscheinlichkeit von 9180 / 175,223,510 oder ungefähr 1 / 19,088 ergibt.

Drei weiße Kugeln und eine rote

Eine andere Möglichkeit, einen Preis von 100 $ zu gewinnen, besteht darin, genau drei der fünf weißen Bälle und auch den roten zu spielen. Es gibt C (5,3) = 10 Möglichkeiten, um drei der fünf zu finden. Die verbleibenden weißen Kugeln müssen eine der verbleibenden 54 sein, die nicht gezogen wurden. Daher gibt es C (54, 2) = 1431 Möglichkeiten, wie dies geschehen kann. Es gibt einen Weg, um den roten Ball zu treffen. Dies bedeutet, dass es 10 x 1431 x 1 = 14.310 Möglichkeiten gibt, genau drei weiße und die rote Kugel zusammenzubringen, was eine Wahrscheinlichkeit von 14.310 / 175.223.510 oder ungefähr 1 / 12.245 ergibt.

Drei weiße Kugeln und kein Rot

Ein Weg, um einen Preis von $ 7 zu gewinnen, besteht darin, genau drei der fünf weißen Bälle und nicht den roten zu treffen. Es gibt C (5,3) = 10 Möglichkeiten, um drei der fünf zu finden. Die verbleibenden weißen Kugeln müssen eine der verbleibenden 54 sein, die nicht gezogen wurden. Daher gibt es C (54, 2) = 1431 Möglichkeiten, wie dies geschehen kann. Diesmal gibt es 34 Möglichkeiten, den roten Ball nicht zu treffen. Dies bedeutet, dass es 10 x 1431 x 34 = 486.540 Möglichkeiten gibt, genau drei weiße Kugeln zu finden, aber nicht die rote, was eine Wahrscheinlichkeit von 486.540 / 175.223.510 oder ungefähr 1/360 ergibt.

Zwei weiße Kugeln und eine rote

Ein weiterer Weg, um einen Preis von $ 7 zu gewinnen, besteht darin, genau zwei der fünf weißen Bälle und auch den roten zu kombinieren. Es gibt C (5,2) = 10 Möglichkeiten, um zwei der fünf zu finden. Die verbleibenden weißen Kugeln müssen eine der verbleibenden 54 sein, die nicht gezogen wurden. Daher gibt es C (54, 3) = 24.804 Möglichkeiten, wie dies geschehen kann. Es gibt einen Weg, um den roten Ball zu treffen. Dies bedeutet, dass es 10 x 24.804 x 1 = 248.040 Möglichkeiten gibt, genau zwei weiße und die rote Kugel zusammenzubringen, was eine Wahrscheinlichkeit von 248.040 / 175.223.510 oder ungefähr 1/706 ergibt.

Ein weißer Ball und ein roter

Eine Möglichkeit, einen Preis von 4 $ zu gewinnen, besteht darin, genau einen der fünf weißen Bälle und auch den roten zu spielen. Es gibt C (5,4) = 5 Möglichkeiten, um eine der fünf zu finden. Die verbleibenden weißen Kugeln müssen eine der verbleibenden 54 sein, die nicht gezogen wurden. Daher gibt es C (54, 4) = 316.251 Möglichkeiten, wie dies geschehen kann. Es gibt einen Weg, um den roten Ball zu treffen. Dies bedeutet, dass es 5 x 316.251 x1 = 1.581.255 Möglichkeiten gibt, genau eine weiße Kugel und die rote Kugel zusammenzubringen, was eine Wahrscheinlichkeit von 1.581.255 / 175.223.510 oder ungefähr 1/111 ergibt.

Eine rote Kugel

Eine andere Möglichkeit, einen Preis von 4 $ zu gewinnen, besteht darin, keinen der fünf weißen Bälle, sondern den roten zuzuordnen. Es gibt 54 Bälle, die nicht zu den fünf ausgewählten gehören, und wir haben C (54, 5) = 3.162.510 Möglichkeiten, um dies zu erreichen. Es gibt einen Weg, um den roten Ball zu treffen. Dies bedeutet, dass es 3.162.510 Möglichkeiten gibt, mit Ausnahme der roten Kugel keine der Kugeln zu treffen, was eine Wahrscheinlichkeit von 3.162.510 / 175.223.510 oder ungefähr 1/55 ergibt.

Dieser Fall ist etwas eingängig. Es gibt 36 rote Bälle, wir können also annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, einen von ihnen zu treffen, 1/36 beträgt. Dies vernachlässigt jedoch die anderen von den weißen Kugeln auferlegten Bedingungen. Viele Kombinationen mit der richtigen roten Kugel enthalten auch Übereinstimmungen mit einigen der weißen Kugeln.