Ableiten der Formel für Kombinationen

Wenn man Formeln sieht, die in einem Lehrbuch gedruckt oder von einem Lehrer an die Tafel geschrieben wurden, ist es manchmal überraschend, dass viele dieser Formeln aus einigen grundlegenden Definitionen und sorgfältigen Überlegungen abgeleitet werden können. Dies gilt insbesondere für die Wahrscheinlichkeit, wenn die Formel auf Kombinationen untersucht wird. Die Herleitung dieser Formel beruht wirklich nur auf dem Multiplikationsprinzip.

Das Multiplikationsprinzip

Angenommen, es ist eine Aufgabe zu erledigen, die in insgesamt zwei Schritte unterteilt ist. Der erste Schritt kann in erfolgen k Wege und der zweite Schritt kann in getan werden n Wege. Dies bedeutet, dass nach dem Multiplizieren dieser Zahlen die Anzahl der Möglichkeiten zum Ausführen der Aufgabe beträgt nk.

Wenn Sie zum Beispiel aus zehn verschiedenen Eissorten und drei verschiedenen Belägen wählen können, wie viele Eissorten können Sie mit einer Kugel und einem Eisbecher zubereiten? Multiplizieren Sie drei mit 10, um 30 Eisbecher zu erhalten.

Permutationen bilden

Verwenden Sie nun das Multiplikationsprinzip, um die Formel für die Anzahl der Kombinationen von abzuleiten r Elemente aus einer Reihe von n Elemente. Lassen P (n, r) bezeichnen die Anzahl der Permutationen von r Elemente aus einer Reihe von n und C (n, r) bezeichnen die Anzahl der Kombinationen von r Elemente aus einer Reihe von n Elemente.

Überlegen Sie, was passiert, wenn Sie eine Permutation von bilden r Elemente von insgesamt n. Betrachten Sie dies als einen zweistufigen Prozess. Wählen Sie zunächst eine Reihe von r Elemente aus einer Reihe von n. Dies ist eine Kombination und es gibt C(n, r) Möglichkeiten, dies zu tun. Der zweite Schritt im Prozess ist die Bestellung r Elemente mit r Entscheidungen für die erste, r - 1 Entscheidungen für die Sekunde, r - 2 für den dritten, 2 Auswahlmöglichkeiten für den vorletzten und 1 für den letzten. Nach dem Multiplikationsprinzip gibt es r x (r -1) x… x 2 x 1 = r! Möglichkeiten, dies zu tun. Diese Formel wird in Fakultätsnotation geschrieben.

Die Herleitung der Formel

Um es zusammenzufassen, P(n,r ), die Anzahl der Möglichkeiten, eine Permutation von zu bilden r Elemente von insgesamt n wird bestimmt durch:

1. Bilden einer Kombination von r Elemente von insgesamt n in einem von C(n,r ) Wege
2. Bestellung dieser r Elemente eines von r! Wege.

Durch das Multiplikationsprinzip ergibt sich die Anzahl der Möglichkeiten, eine Permutation zu bilden P(n,r ) = C(n,r ) x r!.

Verwendung der Formel für Permutationen P(n,r ) = n!/ (n - r) !, das kann in die obige Formel eingesetzt werden:

n!/ (n - r)! = C(n,r ) r!.

Lösen Sie hierzu nun die Anzahl der Kombinationen, C(n,r ), und sehen Sie das C(n,r ) = n!/ [r!(n - r)!].

Wie gezeigt, kann ein wenig Nachdenken und Algebra viel bewirken. Andere Formeln in Wahrscheinlichkeit und Statistik können mit einigen sorgfältigen Anwendungen von Definitionen ebenfalls abgeleitet werden.