Wie De Morgans Gesetze zu beweisen sind

In der mathematischen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es wichtig, mit der Mengenlehre vertraut zu sein. Die Elementaroperationen der Mengenlehre haben Verbindungen zu bestimmten Regeln bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Die Wechselwirkungen dieser elementaren Mengenoperationen von Vereinigung, Schnittmenge und Ergänzung werden durch zwei Aussagen erklärt, die als De-Morgan-Gesetze bekannt sind. Nachdem wir diese Gesetze dargelegt haben, werden wir sehen, wie wir sie beweisen können.

Erklärung der Gesetze von De Morgan

De Morgans Gesetze beziehen sich auf das Zusammenspiel von Vereinigung, Schnittmenge und Ergänzung. Erinnere dich daran:

• Der Schnittpunkt der Mengen EIN und B besteht aus allen Elementen, die beiden gemeinsam sind EIN und B. Die Kreuzung ist mit bezeichnet EIN ∩ B.
• Die Vereinigung der Mengen EIN und B besteht aus allen Elementen, die entweder in EIN oder B, Einschließlich der Elemente in beiden Sätzen. Der Schnittpunkt ist mit A U B bezeichnet.
• Die Ergänzung des Sets EIN besteht aus allen Elementen, die keine Elemente von sind EIN. Dieses Komplement ist mit A bezeichnet^C.

Nachdem wir uns an diese elementaren Operationen erinnert haben, werden wir die Erklärung der Gesetze von De Morgan sehen. Für jedes Setpaar EIN und B

1. (EIN ∩ B)^C = EIN^C U B^C.
2. (EIN U B)^C = EIN^C ∩ B^C.

Umriss der Beweisstrategie

Bevor wir auf den Beweis eingehen, werden wir uns überlegen, wie wir die obigen Aussagen beweisen können. Wir versuchen zu demonstrieren, dass zwei Mengen gleich sind. Die Art und Weise, wie dies in einem mathematischen Beweis gemacht wird, ist das Verfahren der doppelten Inklusion. Der Umriss dieser Beweismethode ist:

1. Zeigen Sie, dass die Menge auf der linken Seite unseres Gleichheitszeichens eine Teilmenge der Menge auf der rechten Seite ist.
2. Wiederholen Sie den Vorgang in der entgegengesetzten Richtung und zeigen Sie, dass die Menge auf der rechten Seite eine Teilmenge der Menge auf der linken Seite ist.
3. Diese beiden Schritte erlauben uns zu sagen, dass die Mengen tatsächlich gleich sind. Sie bestehen aus allen gleichen Elementen.

Beweis eines der Gesetze

Wir werden sehen, wie wir das erste der obigen Gesetze von De Morgan beweisen können. Wir beginnen damit, dass (EIN ∩ B)^C ist eine Teilmenge von EIN^C U B^C.

1. Nehmen wir zuerst an, dass x ist ein Element von (EIN ∩ B)^C.
2. Das bedeutet, dass x ist kein Element von (EIN ∩ B).
3. Da der Schnittpunkt die Menge aller Elemente ist, die beiden gemeinsam sind EIN und B, Der vorherige Schritt bedeutet, dass x kann nicht ein Element von beidem sein EIN und B.
4. Das bedeutet, dass x Es muss ein Element von mindestens einer der Mengen sein EIN^C oder B^C.
5. Per Definition bedeutet dies, dass x ist ein Element von EIN^C U B^C
6. Wir haben die gewünschte Einbeziehung von Teilmengen gezeigt.

Unser Beweis ist jetzt zur Hälfte erledigt. Um es zu vervollständigen, zeigen wir die entgegengesetzte Einbeziehung von Teilmengen. Genauer gesagt müssen wir zeigen EIN^C U B^C ist eine Teilmenge von (EIN ∩ B)^C.

1. Wir beginnen mit einem Element x im Set EIN^C U B^C.
2. Das bedeutet, dass x ist ein Element von EIN^C oder das x ist ein Element von B^C.
3. Somit x ist kein Element von mindestens einer der Mengen EIN oder B.
4. So x kann nicht ein Element von beidem sein EIN und B. Das bedeutet, dass x ist ein Element von (EIN ∩ B)^C.
5. Wir haben die gewünschte Einbeziehung von Teilmengen gezeigt.

Beweis des anderen Gesetzes

Der Beweis der anderen Aussage ist dem Beweis, den wir oben skizziert haben, sehr ähnlich. Alles, was getan werden muss, ist, eine Teilmenge der Mengen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens anzuzeigen.