Wie man die Komplementregel in der Wahrscheinlichkeit beweist

Aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen lassen sich mehrere Wahrscheinlichkeitssätze ableiten. Diese Theoreme können angewendet werden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, die wir möglicherweise wissen möchten. Ein solches Ergebnis ist als Komplementregel bekannt. Mit dieser Aussage können wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen EIN indem man die Wahrscheinlichkeit des Komplements kennt EIN^C. Nach Angabe der Komplementregel werden wir sehen, wie dieses Ergebnis bewiesen werden kann.

Die Ergänzungsregel

Die Ergänzung der Veranstaltung EIN wird bezeichnet mit EIN^C. Die Ergänzung von EIN ist die Menge aller Elemente in der Universalmenge oder dem Abtastraum S, die keine Elemente der Menge sind EIN.

Die Komplementregel wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:

P (EIN^C) = 1 - P (EIN)

Hier sehen wir, dass sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit seines Komplements zu 1 summieren müssen.

Nachweis der Ergänzungsregel

Um die Komplementregel zu beweisen, beginnen wir mit den Axiomen der Wahrscheinlichkeit. Diese Aussagen werden ohne Beweis angenommen. Wir werden sehen, dass sie systematisch verwendet werden können, um unsere Aussage über die Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens eines Ereignisses zu beweisen.

• Das erste Axiom der Wahrscheinlichkeit ist, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eine nicht negative reelle Zahl ist.
• Das zweite Axiom der Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des gesamten Probenraums S ist ein. Symbolisch schreiben wir P (S) = 1.
• Das dritte Wahrscheinlichkeitsaxiom besagt, dass If EIN und B schließen sich gegenseitig aus (was bedeutet, dass sie einen leeren Schnittpunkt haben), dann geben wir die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung dieser Ereignisse als P an (EIN U B ) = P (EIN) + P (B).

Für die Komplementregel müssen wir nicht das erste Axiom in der obigen Liste verwenden.

Um unsere Aussage zu beweisen, berücksichtigen wir die Ereignisse EINund EIN^C. Aus der Mengenlehre wissen wir, dass diese beiden Mengen einen leeren Schnittpunkt haben. Dies liegt daran, dass ein Element nicht gleichzeitig in beiden enthalten sein kann EIN und nicht in EIN. Da es eine leere Kreuzung gibt, schließen sich diese beiden Mengen gegenseitig aus.

Die Vereinigung der beiden Ereignisse EIN und EIN^C sind auch wichtig. Dies sind vollständige Ereignisse, was bedeutet, dass die Vereinigung dieser Ereignisse den gesamten Probenraum ausmacht S.

Diese Tatsachen ergeben zusammen mit den Axiomen die Gleichung

1 = P (S) = P (EIN U EIN^C) = P (EIN) + P (EIN^C) .

Die erste Gleichheit ergibt sich aus dem zweiten Wahrscheinlichkeitsaxiom. Die zweite Gleichheit ist, weil die Ereignisse EIN und EIN^C sind erschöpfend. Die dritte Gleichheit beruht auf dem dritten Wahrscheinlichkeitsaxiom.

Die obige Gleichung kann in die oben angegebene Form geändert werden. Alles was wir tun müssen, ist die Wahrscheinlichkeit von subtrahieren EIN von beiden Seiten der Gleichung. Somit

1 = P (EIN) + P (EIN^C)

wird die Gleichung

P (EIN^C) = 1 - P (EIN).

Natürlich können wir die Regel auch ausdrücken, indem wir Folgendes angeben:

P (EIN) = 1 - P (EIN^C).

Alle drei Gleichungen sind äquivalente Arten, dasselbe zu sagen. Wir sehen aus diesem Beweis, wie nur zwei Axiome und eine Mengenlehre einen langen Weg gehen, um neue Aussagen zur Wahrscheinlichkeit zu beweisen.