Verwendung von Wenn und nur wenn in der Mathematik

Wenn Sie über Statistik und Mathematik lesen, ist eine Phrase, die regelmäßig auftaucht, „genau dann“. Diese Phrase kommt insbesondere in Aussagen mathematischer Theoreme oder Beweise vor. Aber was genau bedeutet diese Aussage??

Was bedeutet wenn und nur wenn in der Mathematik gemeint?

Um „wenn und nur wenn“ zu verstehen, müssen wir zuerst wissen, was unter einer bedingten Anweisung zu verstehen ist. Eine bedingte Aussage ist eine, die aus zwei anderen Aussagen gebildet wird, die wir mit P und Q bezeichnen. Um eine bedingte Aussage zu bilden, könnten wir sagen: "Wenn P, dann Q".

Das Folgende sind Beispiele für diese Art von Aussage:

• Wenn es draußen regnet, nehme ich meinen Regenschirm mit.
• Wenn Sie hart studieren, erhalten Sie ein A.
• Wenn n ist also durch 4 teilbar n ist teilbar durch 2.

Converse und Bedingungen

Drei weitere Anweisungen beziehen sich auf eine bedingte Anweisung. Diese werden das Umgekehrte, das Umgekehrte und das Kontrapositive genannt. Wir bilden diese Aussagen, indem wir die Reihenfolge von P und Q von der ursprünglichen Bedingung ändern und das Wort „nicht“ für das Umgekehrte und Kontrapositive einfügen.

Wir müssen hier nur das Gegenteil berücksichtigen. Diese Aussage ergibt sich aus dem Original mit den Worten „Wenn Q dann P.“. Angenommen, wir beginnen mit der Bedingung „Wenn es draußen regnet, nehme ich meinen Regenschirm auf meinem Weg mit.“ Die Umkehrung dieser Aussage lautet „Wenn ich nimm meinen Regenschirm mit auf meinen Spaziergang, dann regnet es draußen. “

Wir müssen dieses Beispiel nur betrachten, um zu erkennen, dass die ursprüngliche Bedingung nicht logisch mit ihrer Umkehrung identisch ist. Die Verwechslung dieser beiden Aussagenformen wird als umgekehrter Fehler bezeichnet. Man könnte mit einem Regenschirm spazieren gehen, auch wenn es draußen nicht regnet.

Als weiteres Beispiel betrachten wir die Bedingung „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist sie durch 2 teilbar.“ Diese Aussage ist eindeutig richtig. Die Umkehrung dieser Aussage „Wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie durch 4 teilbar“ ist jedoch falsch. Wir müssen uns nur eine Zahl wie 6 ansehen. Obwohl 2 diese Zahl teilt, tut 4 dies nicht. Während die ursprüngliche Aussage wahr ist, ist das Gegenteil nicht der Fall.

Biconditional

Dies bringt uns zu einer bikonditionalen Aussage, die auch als "wenn und nur wenn" -Anweisung bezeichnet wird. Bestimmte bedingte Anweisungen haben auch Konversationen, die wahr sind. In diesem Fall können wir eine sogenannte bikonditionale Aussage bilden. Eine biconditional Anweisung hat die Form:

"Wenn P dann Q, und wenn Q dann P."

Da diese Konstruktion etwas umständlich ist, insbesondere wenn P und Q ihre eigenen logischen Aussagen sind, vereinfachen wir die Aussage einer Bikondition, indem wir den Ausdruck "genau dann, wenn" verwenden. Anstatt "wenn P dann Q und wenn Q dann P" zu sagen, sagen wir stattdessen "P, wenn und nur wenn Q." Diese Konstruktion beseitigt einige Redundanzen.

Statistik Beispiel

Für ein Beispiel des Ausdrucks "Wenn und Nur wenn", bei dem es sich um Statistiken handelt, müssen Sie lediglich die Standardabweichung der Stichprobe berücksichtigen. Die Stichprobenstandardabweichung eines Datensatzes ist genau dann gleich Null, wenn alle Datenwerte identisch sind.

Wir zerlegen diese bikonditionale Aussage in eine Bedingung und ihre Umkehrung. Dann sehen wir, dass diese Aussage beide der folgenden Bedeutungen hat:

• Wenn die Standardabweichung Null ist, sind alle Datenwerte identisch.
• Wenn alle Datenwerte identisch sind, ist die Standardabweichung gleich Null.

Nachweis der Biconditional

Wenn wir versuchen, eine Bedingung zu beweisen, teilen wir sie meistens auf. Dies macht unseren Beweis zweiteilig. Ein Teil, den wir beweisen, ist "wenn P, dann Q". Der andere Teil des Beweises, den wir brauchen, ist "wenn Q, dann P".

Notwendige und ausreichende Bedingungen

Biconditional Statements beziehen sich auf Bedingungen, die sowohl notwendig als auch ausreichend sind. Denken Sie an die Aussage: "Wenn heute Ostern ist, dann ist morgen Montag." Ostern ist heute genug, um morgen Montag zu sein. Dies ist jedoch nicht erforderlich. Heute könnte jeder andere Sonntag als Ostern sein, und morgen wäre noch Montag.

Abkürzung

Der Ausdruck "wenn und nur wenn" wird im mathematischen Schreiben häufig genug verwendet, um eine eigene Abkürzung zu haben. Manchmal wird die Bedingung in der Aussage des Ausdrucks "wenn und nur wenn" zu "wennf" abgekürzt. Daher wird die Aussage "P wenn und nur wenn Q" zu "P wennf Q".