Verwendung der normalen Näherung an eine Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beinhaltet eine diskrete Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeiten in einer Binomialeinstellung können auf einfache Weise unter Verwendung der Formel für einen Binomialkoeffizienten berechnet werden. Während dies theoretisch eine einfache Berechnung ist, kann es in der Praxis ziemlich mühsam oder sogar rechnerisch unmöglich werden, Binomialwahrscheinlichkeiten zu berechnen. Diese Probleme können umgangen werden, indem stattdessen eine Normalverteilung verwendet wird, um eine Binomialverteilung zu approximieren. Wir werden sehen, wie das geht, indem wir die Schritte einer Berechnung durchgehen.

Schritte zur Verwendung der normalen Näherung

Zunächst müssen wir feststellen, ob es angemessen ist, die normale Annäherung zu verwenden. Nicht jede Binomialverteilung ist gleich. Einige weisen eine ausreichende Schiefe auf, so dass wir keine normale Annäherung verwenden können. Um zu überprüfen, ob die normale Annäherung verwendet werden sollte, müssen wir den Wert von betrachten p, Welches ist die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs, und n, Das ist die Anzahl der Beobachtungen unserer Binomialvariablen.

Um die normale Näherung zu verwenden, betrachten wir beide np und n(1 - p ). Wenn beide Zahlen größer oder gleich 10 sind, ist es gerechtfertigt, die normale Näherung zu verwenden. Dies ist eine allgemeine Faustregel und in der Regel umso größer, je größer die Werte von sind np und n(1 - p ), desto besser ist die Annäherung.

Vergleich zwischen Binomial und Normal

Wir werden eine exakte Binomialwahrscheinlichkeit mit der durch eine normale Näherung erhaltenen vergleichen. Wir betrachten das Werfen von 20 Münzen und möchten die Wahrscheinlichkeit wissen, dass fünf Münzen oder weniger Köpfe waren. Wenn X ist die Anzahl der Köpfe, dann wollen wir den Wert finden:

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5).

Die Verwendung der Binomialformel für jede dieser sechs Wahrscheinlichkeiten zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit 2,0695% beträgt. Wir werden nun sehen, wie nahe unsere normale Annäherung an diesen Wert sein wird.

Wenn wir die Bedingungen überprüfen, sehen wir, dass beide np und np(1 - p) sind gleich 10. Dies zeigt, dass wir in diesem Fall die normale Näherung verwenden können. Wir verwenden eine Normalverteilung mit dem Mittelwert von np = 20 (0,5) = 10 und eine Standardabweichung von (20 (0,5) (0,5))^0,5 = 2,236.

Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass X kleiner oder gleich 5 ist, müssen wir die finden z-Ergebnis für 5 in der Normalverteilung, die wir verwenden. Somit z = (5-10) / 2,236 = -2,236. Durch Abfragen eines Tisches von z-Scores sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass z ist kleiner oder gleich -2,236 ist 1,267%. Dies weicht von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit ab, liegt jedoch innerhalb von 0,8%..

Kontinuitätskorrekturfaktor

Um unsere Schätzung zu verbessern, ist es angebracht, einen Kontinuitätskorrekturfaktor einzuführen. Dies wird verwendet, weil eine Normalverteilung stetig ist, während die Binomialverteilung diskret ist. Für eine binomische Zufallsvariable ein Wahrscheinlichkeitshistogramm für X = 5 enthält einen Balken, der von 4,5 bis 5,5 reicht und bei 5 zentriert ist.

Dies bedeutet, dass für das obige Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass X ist kleiner oder gleich 5 für eine Binomialvariable sollte durch die Wahrscheinlichkeit geschätzt werden, dass X ist kleiner oder gleich 5,5 für eine kontinuierliche normale Variable. Somit z = (5,5-10) / 2,236 = -2,013. Die Wahrscheinlichkeit, dass z