Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik

Wenn Sie sich überhaupt viel mit Statistik beschäftigen, stoßen Sie bald auf die Redewendung „Wahrscheinlichkeitsverteilung“. Hier können wir wirklich sehen, wie sehr sich die Bereiche Wahrscheinlichkeit und Statistik überschneiden. Obwohl dies wie etwas Technisches klingt, ist der Ausdruck Wahrscheinlichkeitsverteilung eigentlich nur eine Möglichkeit, über das Organisieren einer Liste von Wahrscheinlichkeiten zu sprechen. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion oder Regel, die jedem Wert einer Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeiten zuweist. Die Verteilung kann in einigen Fällen aufgeführt sein. In anderen Fällen wird es als Grafik dargestellt.

Beispiel

Nehmen wir an, wir würfeln zwei Würfel und notieren dann die Summe der Würfel. Beträge von zwei bis zwölf sind möglich. Jede Summe hat eine bestimmte Eintrittswahrscheinlichkeit. Wir können diese einfach wie folgt auflisten:

• Die Summe von 2 hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36
• Die Summe von 3 hat eine Wahrscheinlichkeit von 2/36
• Die Summe von 4 hat eine Wahrscheinlichkeit von 3/36
• Die Summe von 5 hat eine Wahrscheinlichkeit von 4/36
• Die Summe von 6 hat eine Wahrscheinlichkeit von 5/36
• Die Summe von 7 hat eine Wahrscheinlichkeit von 6/36
• Die Summe von 8 hat eine Wahrscheinlichkeit von 5/36
• Die Summe von 9 hat eine Wahrscheinlichkeit von 4/36
• Die Summe von 10 hat eine Wahrscheinlichkeit von 3/36
• Die Summe von 11 hat eine Wahrscheinlichkeit von 2/36
• Die Summe von 12 hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36

Diese Liste ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Wahrscheinlichkeitsexperiment, bei dem zwei Würfel gewürfelt werden. Wir können das Obige auch als eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen betrachten, die durch Betrachten der Summe der beiden Würfel definiert wird.

Graph

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann grafisch dargestellt werden, und manchmal hilft dies, uns Merkmale der Verteilung zu zeigen, die nicht durch einfaches Lesen der Liste der Wahrscheinlichkeiten ersichtlich wurden. Die Zufallsvariable ist entlang der eingezeichnet x-Achse, und die entsprechende Wahrscheinlichkeit ist entlang der aufgetragen y-Achse. Für eine diskrete Zufallsvariable haben wir ein Histogramm. Für eine kontinuierliche Zufallsvariable haben wir das Innere einer glatten Kurve.

Die Wahrscheinlichkeitsregeln sind noch gültig und manifestieren sich auf verschiedene Arten. Da Wahrscheinlichkeiten größer oder gleich Null sind, muss der Graph einer Wahrscheinlichkeitsverteilung haben y-Koordinaten, die nicht negativ sind. Ein weiteres Merkmal von Wahrscheinlichkeiten, nämlich, dass eine das Maximum ist, das die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sein kann, zeigt sich auf andere Weise.

Fläche = Wahrscheinlichkeit

Der Graph einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist so aufgebaut, dass Bereiche Wahrscheinlichkeiten darstellen. Für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen wir eigentlich nur die Flächen von Rechtecken. In der obigen Grafik entsprechen die Bereiche der drei Balken, die vier, fünf und sechs entsprechen, der Wahrscheinlichkeit, dass die Summe unserer Würfel vier, fünf oder sechs beträgt. Die Flächen aller Balken addieren sich zu einer.

In der Standardnormalverteilung oder Glockenkurve haben wir eine ähnliche Situation. Der Bereich unter der Kurve zwischen zwei z Werte entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass unsere Variable zwischen diesen beiden Werten liegt. Beispielsweise kann die Fläche unter der Glockenkurve für -1 z.

Wichtige Distributionen

Es gibt buchstäblich unendlich viele Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine Liste der wichtigsten Distributionen folgt:

• Binomialverteilung - Gibt die Anzahl der Erfolge für eine Reihe unabhängiger Experimente mit zwei Ergebnissen an
• Chi-Quadrat-Verteilung - Zur Bestimmung, wie genau beobachtete Größen zu einem vorgeschlagenen Modell passen
• F-Verteilung - Verwendet in der Varianzanalyse (ANOVA)
• Normalverteilung - Nannte die Glockenkurve und ist in der gesamten Statistik zu finden.
• Studentenverteilung - Zur Verwendung mit kleinen Probengrößen aus einer Normalverteilung