Wahrscheinlichkeit einer kleinen Straße in Yahtzee in einer einzelnen Rolle

Yahtzee ist ein Würfelspiel, bei dem fünf normale sechsseitige Würfel verwendet werden. In jeder Runde erhalten die Spieler drei Würfe, um verschiedene Ziele zu erreichen. Nach jedem Wurf kann ein Spieler entscheiden, welche der Würfel (falls vorhanden) behalten und welche neu gewürfelt werden sollen. Die Ziele umfassen eine Vielzahl verschiedener Arten von Kombinationen, von denen viele aus dem Poker stammen. Jede andere Kombination ist eine andere Punktzahl wert.

Zwei der Arten von Kombinationen, die Spieler würfeln müssen, werden als Straights bezeichnet: eine kleine Straße und eine große Straße. Wie Poker Straights bestehen diese Kombinationen aus aufeinanderfolgenden Würfeln. Bei kleinen Geraden werden vier der fünf Würfel und bei großen Geraden alle fünf Würfel eingesetzt. Aufgrund der Zufälligkeit des Würfelns kann die Wahrscheinlichkeit verwendet werden, um zu analysieren, wie wahrscheinlich es ist, eine kleine Gerade in einem einzelnen Wurf zu würfeln.

Annahmen

Wir gehen davon aus, dass die verwendeten Würfel fair und unabhängig voneinander sind. Somit gibt es einen einheitlichen Probenraum, der aus allen möglichen Würfen der fünf Würfel besteht. Obwohl Yahtzee drei Rollen zulässt, betrachten wir der Einfachheit halber nur den Fall, dass wir eine kleine Gerade in einer einzelnen Rolle erhalten.

Probenraum

Da wir mit einem einheitlichen Probenraum arbeiten, wird die Berechnung unserer Wahrscheinlichkeit zur Berechnung einiger Zählprobleme. Die Wahrscheinlichkeit einer kleinen Straße ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine kleine Straße zu würfeln, geteilt durch die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum.

Es ist sehr einfach, die Anzahl der Ergebnisse im Probenraum zu zählen. Wir werfen fünf Würfel und jeder dieser Würfel kann einen von sechs verschiedenen Ergebnissen haben. Eine grundlegende Anwendung des Multiplikationsprinzips besagt, dass der Probenraum 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 hat⁵ = 7776 Ergebnisse. Diese Zahl ist der Nenner der Brüche, die wir für unsere Wahrscheinlichkeit verwenden.

Anzahl der Geraden

Als nächstes müssen wir wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine kleine Straße zu rollen. Dies ist schwieriger als die Größe des Probenraums zu berechnen. Wir zählen zunächst, wie viele Geraden möglich sind.

Eine kleine Straße ist leichter zu rollen als eine große Straße. Es ist jedoch schwieriger, die Anzahl der Arten des Rollens dieser Art von Straße zu bestimmen. Eine kleine Gerade besteht aus genau vier aufeinander folgenden Zahlen. Da es sechs verschiedene Seiten des Würfels gibt, gibt es drei mögliche kleine Geraden: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5 und 3, 4, 5, 6. Die Schwierigkeit besteht darin zu überlegen, was mit dem fünften Würfel passiert. In jedem dieser Fälle muss der fünfte Würfel eine Zahl sein, die keine große Gerade erzeugt. Wenn zum Beispiel die ersten vier Würfel 1, 2, 3 und 4 wären, könnte der fünfte Würfel alles andere als 5 sein. Wenn der fünfte Würfel eine 5 wäre, hätten wir eine große Straße und keine kleine Straße.

Dies bedeutet, dass es fünf mögliche Rollen gibt, die die kleine Gerade ergeben 1, 2, 3, 4, fünf mögliche Rollen, die die kleine Gerade ergeben 3, 4, 5, 6 und vier mögliche Rollen, die die kleine Gerade ergeben 2, 3, 4, 5. Dieser letzte Fall ist anders, weil das Würfeln einer 1 oder einer 6 für den fünften Würfel 2, 3, 4, 5 in eine große Gerade verwandelt. Dies bedeutet, dass es 14 verschiedene Möglichkeiten gibt, mit denen fünf Würfel eine kleine Straße ergeben.

Jetzt bestimmen wir die unterschiedliche Anzahl von Würfeln, die uns eine Straße bringen. Da wir nur wissen müssen, wie viele Möglichkeiten es gibt, können wir einige grundlegende Zähltechniken anwenden.

Von den 14 verschiedenen Wegen, kleine Geraden zu erhalten, sind nur zwei dieser 1,2,3,4,6 und 1,3,4,5,6 Mengen mit verschiedenen Elementen. Es gibt 5! = 120 Möglichkeiten, jeweils 2 x 5 zu würfeln! = 240 kleine Geraden.

Die anderen 12 Möglichkeiten, eine kleine Gerade zu haben, sind technisch gesehen Multisets, da sie alle ein sich wiederholendes Element enthalten. Für ein bestimmtes Multiset wie [1,1,2,3,4] zählen wir die Anzahl der verschiedenen Arten, dies zu würfeln. Stellen Sie sich die Würfel als fünf Positionen hintereinander vor:

• Es gibt C (5,2) = 10 Möglichkeiten, um die zwei wiederholten Elemente unter den fünf Würfeln zu positionieren.
• Es gibt 3! = 6 Möglichkeiten, die drei verschiedenen Elemente anzuordnen.

Nach dem Multiplikationsprinzip gibt es 6 x 10 = 60 verschiedene Möglichkeiten, die Würfel 1,1,2,3,4 in einem einzigen Wurf zu würfeln.

Mit diesem speziellen fünften Würfel gibt es 60 Möglichkeiten, eine solche kleine Gerade zu werfen. Da es 12 Multisets gibt, die eine unterschiedliche Auflistung von fünf Würfeln ergeben, gibt es 60 x 12 = 720 Möglichkeiten, eine kleine Straße zu werfen, in der zwei Würfel übereinstimmen.

Insgesamt gibt es 2 x 5! + 12 x 60 = 960 Möglichkeiten, eine kleine Gerade zu rollen.