Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von 3 oder mehr Sätzen

Wenn sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, kann die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung mit der Additionsregel berechnet werden. Wir wissen, dass für das Würfeln eine Zahl größer als vier oder eine Zahl kleiner als drei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, die nichts gemeinsam haben. Um die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis zu ermitteln, addieren wir einfach die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine Zahl größer als vier würfeln, zu der Wahrscheinlichkeit, dass wir eine Zahl kleiner als drei würfeln. In Symbolen haben wir folgende, wo die Hauptstadt P bezeichnet "Wahrscheinlichkeit von":

P(größer als vier oder kleiner als drei) = P(größer als vier) + P(weniger als drei) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Wenn die Ereignisse sind nicht Wenn wir uns gegenseitig ausschließen, addieren wir nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, sondern müssen die Wahrscheinlichkeit der Überschneidung der Ereignisse subtrahieren. Angesichts der Ereignisse EIN und B:

P(EIN U B) = P(EIN) + P(B) - P(EIN ∩ B).

Hier berücksichtigen wir die Möglichkeit, die Elemente, die in beiden enthalten sind, doppelt zu zählen EIN und B, und deshalb subtrahieren wir die Wahrscheinlichkeit der Überschneidung.

Daraus ergibt sich die Frage: „Warum mit zwei Sätzen aufhören? Was ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von mehr als zwei Sätzen? "

Formel für die Vereinigung von 3 Sätzen

Wir werden die obigen Ideen auf die Situation erweitern, in der wir drei Mengen haben, die wir bezeichnen werden EIN, B, und C. Wir werden nicht mehr als dies annehmen, daher besteht die Möglichkeit, dass die Mengen einen nicht leeren Schnittpunkt haben. Das Ziel wird es sein, die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung dieser drei Mengen zu berechnen, oder P (EIN U B U C).

Die obige Diskussion für zwei Sätze gilt immer noch. Wir können die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Mengen addieren EIN, B, und C, Dabei haben wir einige Elemente doppelt gezählt.

Die Elemente im Schnittpunkt von EIN und B wurden wie zuvor doppelt gezählt, aber jetzt gibt es andere Elemente, die möglicherweise doppelt gezählt wurden. Die Elemente im Schnittpunkt von EIN und C und im Schnittpunkt von B und C wurden jetzt auch doppelt gezählt. Daher müssen auch die Wahrscheinlichkeiten dieser Schnittpunkte abgezogen werden.

Aber haben wir zu viel abgezogen? Es gibt etwas Neues zu bedenken, um das wir uns nicht kümmern mussten, als es nur zwei Sets gab. So wie zwei beliebige Mengen eine Schnittmenge haben können, können auch alle drei Mengen eine Schnittmenge haben. Um sicherzustellen, dass wir nichts doppelt gezählt haben, haben wir nicht alle Elemente gezählt, die in allen drei Sätzen vorkommen. Also muss die Wahrscheinlichkeit der Überschneidung aller drei Mengen zurückgezählt werden.

Hier ist die Formel, die aus der obigen Diskussion abgeleitet ist:

P (EIN U B U C) = P(EIN) + P(B) + P(C) - P(EIN ∩ B) - P(EIN ∩ C) - P(B ∩ C) + P(EIN ∩ B ∩ C)

Beispiel mit 2 Würfeln

Um die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von drei Sätzen zu sehen, nehmen wir an, wir spielen ein Brettspiel, bei dem zwei Würfel gewürfelt werden. Aufgrund der Spielregeln müssen wir mindestens einen Würfel haben, um zwei, drei oder vier zu gewinnen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür? Wir bemerken, dass wir versuchen, die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von drei Ereignissen zu berechnen: mindestens eine Zwei würfeln, mindestens eine Drei würfeln, mindestens eine Vier würfeln. Wir können also die obige Formel mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten verwenden:

Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu würfeln, beträgt 11/36. Der Zähler hier kommt von der Tatsache, dass es sechs Ergebnisse gibt, bei denen der erste Würfel eine Zwei ist, sechs, bei denen der zweite Würfel eine Zwei ist, und ein Ergebnis, bei dem beide Würfel zwei sind. Dies ergibt 6 + 6 - 1 = 11.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Drei zu würfeln, beträgt aus dem gleichen Grund wie oben 11/36.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Vier zu würfeln, beträgt aus dem gleichen Grund wie oben 11/36.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei und eine Drei zu würfeln, beträgt 2/36. Hier können wir einfach die Möglichkeiten auflisten, die beiden könnten an erster oder zweiter Stelle stehen.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei und eine Vier zu würfeln, beträgt 2/36, aus dem gleichen Grund, dass die Wahrscheinlichkeit einer Zwei und einer Drei 2/36 beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei, drei und vier zu würfeln, ist 0, weil wir nur zwei Würfel werfen und es keine Möglichkeit gibt, drei Zahlen mit zwei Würfeln zu erhalten.

Wir verwenden nun die Formel und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens zwei, drei oder vier beträgt

11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.

Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von 4 Sätzen

Der Grund, warum die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von vier Mengen ihre Form hat, ähnelt der Begründung für die Formel für drei Mengen. Mit zunehmender Anzahl von Sätzen nimmt auch die Anzahl von Paaren, Dreifachen usw. zu. Bei vier Sätzen gibt es sechs paarweise Schnittpunkte, die subtrahiert werden müssen, vier dreifache Schnittpunkte, die erneut addiert werden müssen, und jetzt einen vierfachen Schnittpunkt, der subtrahiert werden muss. Vier Sätze gegeben EIN, B, C und D, Die Formel für die Vereinigung dieser Mengen lautet wie folgt:

P (EIN U B U C U D) = P(EIN) + P(B) + P(C) +P(D) - P(EIN ∩ B) - P(EIN ∩ C) - P(EIN ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(EIN ∩ B ∩ C) + P(EIN ∩ B ∩ D) + P(EIN ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(EIN ∩ B ∩ C ∩ D).

Gesamtmuster

Wir könnten Formeln für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von mehr als vier Mengen schreiben (die sogar erschreckender aussehen würden als die obige), aber wenn wir die obigen Formeln studieren, sollten wir einige Muster bemerken. Diese Muster gelten für die Berechnung von Vereinigungen mit mehr als vier Sätzen. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen kann wie folgt ermittelt werden:

Addieren Sie die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.
Subtrahieren Sie die Wahrscheinlichkeiten der Schnittpunkte aller Ereignispaare.
Addieren Sie die Schnittwahrscheinlichkeiten aller drei Ereignisse.
Subtrahieren Sie die Schnittwahrscheinlichkeiten aller vier Ereignisse.
Setzen Sie diesen Vorgang fort, bis die letzte Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts der Gesamtzahl der Mengen ist, mit denen wir begonnen haben.

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