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Lösen von Exponentialfunktionen Ermitteln des ursprünglichen Betrags

Wissenschaft
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Exponentialfunktionen erzählen die Geschichten von explosiven Veränderungen. Die zwei Arten von Exponentialfunktionen sind exponentielles Wachstum und exponentiellen Abfall. Vier Variablen - Veränderung in Prozent, Zeit, Betrag zu Beginn des Zeitraums und Betrag am Ende des Zeitraums - spielen in Exponentialfunktionen eine Rolle. Dieser Artikel befasst sich mit der Ermittlung des Betrags zu Beginn des Zeitraums, ein.

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum: Die Änderung, die eintritt, wenn ein ursprünglicher Betrag über einen bestimmten Zeitraum hinweg um eine konstante Rate erhöht wird

Exponentielles Wachstum im realen Leben:

  • Werte der Eigenheimpreise
  • Werte von Investitionen
  • Erhöhte Mitgliedschaft in einer beliebten Social-Networking-Site

Hier ist eine exponentielle Wachstumsfunktion:

y = ein(1 + b)x

  • y: Restbetrag über einen bestimmten Zeitraum
  • ein: Der ursprüngliche Betrag
  • x: Zeit
  • Das Wachstumsfaktor ist (1 + b).
  • Die Variable, b, ist die prozentuale Änderung in Dezimalform.

Exponentiellen Abfall

Exponentieller Zerfall: Die Änderung, die auftritt, wenn ein ursprünglicher Betrag über einen bestimmten Zeitraum hinweg um eine konstante Rate verringert wird

Exponentieller Zerfall im wirklichen Leben:

  • Rückgang der Zeitungsleserschaft
  • Rückgang der Schlaganfälle in den USA.
  • Anzahl der Personen, die in einer von Hurrikanen heimgesuchten Stadt leben

Hier ist eine exponentielle Abklingfunktion:

y = ein(1-b)x

  • y: Restbetrag nach dem Verfall über einen bestimmten Zeitraum
  • ein: Der ursprüngliche Betrag
  • x: Zeit
  • Das Zerfallsfaktor ist (1-b).
  • Die Variable, b, ist die prozentuale Abnahme in Dezimalform.

Zweck der Ermittlung des ursprünglichen Betrags

In sechs Jahren möchten Sie vielleicht einen Bachelor-Abschluss an der Dream University machen. Mit einem Preis von 120.000 US-Dollar ruft die Dream University finanzielle Nachtangst hervor. Nach schlaflosen Nächten treffen Sie, Mama und Papa einen Finanzplaner. Die blutunterlaufenen Augen Ihrer Eltern klären sich, wenn der Planer eine Investition mit einer Wachstumsrate von 8% feststellt, die Ihrer Familie helfen kann, das Ziel von 120.000 USD zu erreichen. Studiere hart. Wenn Sie und Ihre Eltern heute 75.620,36 USD investieren, wird die Dream University Ihre Realität.

So lösen Sie den ursprünglichen Betrag einer Exponentialfunktion

Diese Funktion beschreibt das exponentielle Wachstum der Investition:

120.000 = ein(1 + 08)6

  • 120.000: Restbetrag nach 6 Jahren
  • .08: Jährliche Wachstumsrate
  • 6: Die Anzahl der Jahre, in denen die Investition wachsen soll
  • ein: Der ursprüngliche Betrag, den Ihre Familie investiert hat

Hinweis: Dank der symmetrischen Eigenschaft der Gleichheit sind 120.000 = ein(1 + 08)6 ist das gleiche wie ein(1 + 08)6 = 120.000. (Symmetrische Eigenschaft der Gleichheit: Wenn 10 + 5 = 15, dann ist 15 = 10 +5.)

Wenn Sie es vorziehen, die Gleichung mit der Konstanten 120.000 rechts von der Gleichung neu zu schreiben, tun Sie dies.

ein(1 + 08)6 = 120.000

Zugegeben, die Gleichung sieht nicht wie eine lineare Gleichung aus (6ein = 120.000 $), aber es ist lösbar. Dabei bleiben!

ein(1 + 08)6 = 120.000

Seien Sie vorsichtig: Lösen Sie diese Exponentialgleichung nicht, indem Sie 120.000 durch 6 teilen. Es ist ein verlockendes mathematisches Nein-Nein.

1. Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.

ein(1 + 08)6 = 120.000

ein(1,08)6 = 120.000 (in Klammern)

ein(1.586874323) = 120.000 (Exponent)

2. Löse durch Teilen

ein(1,586874323) = 120.000

ein(1,586874323) / (1,586874323) = 120.000 / (1,586874323)

1ein = 75,620,35523

ein = 75,620,35523

Der ursprüngliche Betrag oder der Betrag, den Ihre Familie investieren sollte, beträgt ungefähr 75.620,36 USD.

3. Einfrieren - Du bist noch nicht fertig. Verwenden Sie die Reihenfolge der Operationen, um Ihre Antwort zu überprüfen.

120.000 = ein(1 + 08)6

120.000 = 75.620.35523 (1 +.08)6

120.000 = 75.620.35523 (1,08)6 (Klammer)

120.000 = 75.620.35523 (1,586874323) (Exponent)

120.000 = 120.000 (Multiplikation)

Übungsaufgaben: Antworten und Erklärungen

Im Folgenden finden Sie Beispiele für das Auflösen des ursprünglichen Betrags unter Berücksichtigung der Exponentialfunktion:

  1. 84 = ein(1 + .31)7
    Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
    84 = ein(1,31)7 (Klammer)
    84 = ein(6.620626219) (Exponent)
    Teilen, um zu lösen.
    84 / 6.620626219 = ein(6.620626219) /6.620626219
    12.68762157 = 1ein
    12.68762157 = ein
    Verwenden Sie Order of Operations, um Ihre Antwort zu überprüfen.
    84 = 12,68762157 (1,31)7 (Klammer)
    84 = 12.68762157 (6.620626219) (Exponent)
    84 = 84 (Multiplikation)
  2. ein(1 - 65)3 = 56
    Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
    ein(.35)3 = 56 (Klammer)
    ein(.042875) = 56 (Exponent)
    Teilen, um zu lösen.
    ein(.042875) /. 042875 = 56 / .042875
    ein = 1.306,122449
    Verwenden Sie Order of Operations, um Ihre Antwort zu überprüfen.
    ein(1 - 65)3 = 56
    1,306.122449 (.35)3 = 56 (Klammer)
    1,306.122449 (.042875) = 56 (Exponent)
    56 = 56 (Multiplizieren)
  3. ein(1 + .10)5 = 100.000
    Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
    ein(1.10)5 = 100.000 (in Klammern)
    ein(1,61051) = 100.000 (Exponent)
    Teilen, um zu lösen.
    ein(1,61051) / 1,61051 = 100.000 / 1,61051
    ein = 62,092.13231
    Verwenden Sie Order of Operations, um Ihre Antwort zu überprüfen.
    62,092.13231 (1 + .10)5 = 100.000
    62.092.13231 (1.10)5 = 100.000 (in Klammern)
    62,092.13231 (1,61051) = 100,000 (Exponent)
    100.000 = 100.000 (Multiplizieren)
  4. 8.200 = ein(1,20)15
    Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
    8.200 = ein(1,20)15 (Exponent)
    8.200 = ein(15.40702157)
    Teilen, um zu lösen.
    8.200 / 15.40702157 = ein(15.40702157) / 15.40702157
    532,2248665 = 1ein
    532,2248665 = ein
    Verwenden Sie Order of Operations, um Ihre Antwort zu überprüfen.
    8.200 = 532.2248665 (1,20)15
    8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (Exponent)
    8.200 = 8200 (Nun, 8.199.9999… Nur ein kleiner Rundungsfehler.) (Multiplizieren.)
  5. ein(1-3)2 = 1.000
    Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
    ein(.67)2 = 1.000 (Klammer)
    ein(.4489) = 1.000 (Exponent)
    Teilen, um zu lösen.
    ein(.4489) /. 4489 = 1.000 / .4489
    1ein = 2,227,667632
    ein = 2,227,667632
    Verwenden Sie Order of Operations, um Ihre Antwort zu überprüfen.
    2,227,667632 (1 -,33)2 = 1.000
    2,227.667632 (.67)2 = 1.000 (Klammer)
    2,227,667632 (.4489) = 1,000 (Exponent)
    1.000 = 1.000 (Multiplizieren)
  6. ein(.25)4 = 750
    Verwenden Sie zur Vereinfachung die Reihenfolge der Operationen.
    ein(.00390625) = 750 (Exponent)
    Teilen, um zu lösen.
    ein(.00390625) / 00390625 = 750 / .00390625
    1a = 192.000
    a = 192.000
    Verwenden Sie Order of Operations, um Ihre Antwort zu überprüfen.
    192.000 (.25)4 = 750
    192.000 (.00390625) = 750
    750 = 750
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