Die Wahrscheinlichkeit, einen Yahtzee zu würfeln

Yahtzee ist ein Würfelspiel mit einer Kombination aus Zufall und Strategie. Ein Spieler beginnt seinen Zug mit fünf Würfeln. Nach diesem Wurf kann der Spieler entscheiden, eine beliebige Anzahl der Würfel erneut zu würfeln. Höchstens gibt es insgesamt drei Rollen für jede Runde. Nach diesen drei Würfen wird das Ergebnis des Würfels in ein Punkteblatt eingetragen. Dieses Score Sheet enthält verschiedene Kategorien, z. B. ein Full House oder eine Large Straight. Jede der Kategorien ist mit unterschiedlichen Würfelkombinationen zufrieden.

Die am schwierigsten auszufüllende Kategorie ist die eines Yahtzee. Ein Yahtzee tritt auf, wenn ein Spieler fünf gleiche Zahlen würfelt. Wie unwahrscheinlich ist ein Yahtzee? Dies ist ein Problem, das viel komplizierter ist als das Finden von Wahrscheinlichkeiten für zwei oder sogar drei Würfel. Der Hauptgrund ist, dass es viele Möglichkeiten gibt, während drei Würfen fünf passende Würfel zu erhalten.

Wir können die Wahrscheinlichkeit berechnen, einen Yahtzee zu würfeln, indem wir die kombinatorische Formel für Kombinationen verwenden und das Problem in mehrere sich gegenseitig ausschließende Fälle aufteilen.

Eine Rolle

Am einfachsten ist es, sofort beim ersten Wurf einen Yahtzee zu erhalten. Wir werden zuerst die Wahrscheinlichkeit untersuchen, einen bestimmten Yahtzee mit fünf Zweien zu würfeln, und dies dann leicht auf die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Yahtzee ausweiten.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu würfeln, ist 1/6 und das Ergebnis jedes Würfels ist unabhängig vom Rest. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, fünf Zweien zu würfeln, (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Die Wahrscheinlichkeit, fünf Gleiche zu würfeln, beträgt ebenfalls 1/7776. Da es insgesamt sechs verschiedene Zahlen auf einem Würfel gibt, multiplizieren wir die obige Wahrscheinlichkeit mit 6.

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Yahtzee beim ersten Wurf 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 Prozent beträgt.

Zwei Brötchen

Wenn wir etwas anderes als einen Fünfer würfeln, müssen wir einige unserer Würfel neu würfeln, um einen Yahtzee zu bekommen. Angenommen, unsere erste Rolle hat einen Vierling. Wir würden den einen Würfel, der nicht passt, erneut würfeln und dann einen Yahtzee für diesen zweiten Wurf erhalten.

Die Wahrscheinlichkeit, auf diese Weise insgesamt fünf Zweien zu würfeln, ergibt sich wie folgt:

1. Beim ersten Wurf haben wir vier Zweien. Da es eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 gibt, eine Zwei zu würfeln, und von 5/6, keine Zwei zu würfeln, multiplizieren wir (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x 5/6) = 5/7776.
2. Jeder der fünf gewürfelten Würfel könnte der Nicht-Zwei-Würfel sein. Wir verwenden unsere Kombinationsformel für C (5, 1) = 5, um zu zählen, auf welche Weise wir vier Zweien würfeln können und etwas, das keine Zwei ist.
3. Wir multiplizieren und sehen, dass die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf genau vier Zweien zu würfeln, 25/7776 beträgt.
4. Beim zweiten Wurf müssen wir die Wahrscheinlichkeit für den Wurf eins zwei berechnen. Das ist 1/6. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, einen Yahtzee von Zweien auf die obige Weise zu würfeln, (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der ein Yahtzee auf diese Weise gewürfelt werden kann, multiplizieren Sie die obige Wahrscheinlichkeit mit 6, da ein Würfel sechs verschiedene Zahlen enthält. Dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 6 x 25/46656 = 0,32 Prozent.

Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, einen Yahtzee mit zwei Rollen zu würfeln. Alle folgenden Wahrscheinlichkeiten werden auf die gleiche Weise wie oben gefunden:

• Wir könnten drei Gleiche würfeln und dann zwei Würfel, die zu unserem zweiten Wurf passen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 Prozent.
• Wir könnten ein passendes Paar würfeln und bei unserem zweiten Wurf drei Würfel, die passen. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 Prozent.
• Wir könnten fünf verschiedene Würfel werfen, einen Würfel von unserem ersten Wurf retten und dann vier Würfel werfen, die beim zweiten Wurf übereinstimmen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 Prozent.

Die oben genannten Fälle schließen sich gegenseitig aus. Dies bedeutet, dass wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, einen Yahtzee in zwei Würfen zu würfeln, die obigen Wahrscheinlichkeiten addieren und ungefähr 1,23 Prozent haben.

Drei Brötchen

Für die bisher komplizierteste Situation werden wir nun den Fall untersuchen, in dem wir alle drei unserer Rollen verwenden, um einen Yahtzee zu erhalten. Wir könnten dies auf verschiedene Arten tun und müssen sie alle berücksichtigen.

Die Wahrscheinlichkeiten dieser Möglichkeiten werden nachfolgend berechnet: