Das Fakultät (!) In Mathematik und Statistik verstehen

In der Mathematik können Symbole, die bestimmte Bedeutungen in der englischen Sprache haben, sehr spezielle und unterschiedliche Dinge bedeuten. Betrachten Sie beispielsweise den folgenden Ausdruck:

3!

Nein, wir haben das Ausrufezeichen nicht verwendet, um zu zeigen, dass wir uns auf drei freuen, und wir sollten den letzten Satz nicht mit Nachdruck lesen. In der Mathematik ist der Ausdruck 3! wird als "drei Fakultäten" gelesen und ist wirklich eine Kurzform, um die Multiplikation mehrerer aufeinanderfolgender ganzer Zahlen zu bezeichnen.

Da es in Mathematik und Statistik viele Stellen gibt, an denen wir Zahlen miteinander multiplizieren müssen, ist die Fakultät sehr nützlich. Einige der Hauptorte, an denen es auftaucht, sind Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Definition

Die Definition der Fakultät ist die für jede positive ganze Zahl n, die Fakultät:

n! = n × (n –1) × (n - 2) ×… × 2 × 1

Beispiele für kleine Werte

Zunächst betrachten wir einige Beispiele für die Fakultät mit kleinen Werten von n:

• 1! = 1
• 2! = 2 × 1 = 2
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
• 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
• 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320
• 9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800

Wie wir sehen können, wird die Fakultät sehr schnell sehr groß. Etwas, das klein erscheinen mag, wie zum Beispiel 20! hat eigentlich 19 Ziffern.

Fakultäten sind einfach zu berechnen, ihre Berechnung kann jedoch etwas mühsam sein. Glücklicherweise haben viele Taschenrechner einen Fakultätsschlüssel (achten Sie auf das Symbol!). Diese Funktion des Rechners automatisiert die Multiplikationen.

Ein besonderer Fall

Ein anderer Wert der Fakultät, für den die obige Standarddefinition nicht gilt, ist der Wert der Fakultät Null. Wenn wir der Formel folgen, würden wir keinen Wert für 0! Erhalten. Es gibt keine positiven ganzen Zahlen unter 0. Aus mehreren Gründen ist es angebracht, 0 zu definieren! = 1. Die Fakultät für diesen Wert zeigt sich insbesondere in den Formeln für Kombinationen und Permutationen.

Weiterführende Berechnungen

Beim Umgang mit Berechnungen ist es wichtig zu überlegen, bevor wir die Fakultätstaste auf unserem Taschenrechner drücken. So berechnen Sie einen Ausdruck wie 100! / 98! Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Eine Möglichkeit ist, mit einem Taschenrechner beide 100 zu finden! und 98!, dann teilen Sie eine durch die andere. Dies ist zwar eine direkte Berechnungsmethode, mit der jedoch einige Schwierigkeiten verbunden sind. Einige Taschenrechner können keine Ausdrücke verarbeiten, die größer als 100 sind! = 9,33262154 · 10¹⁵⁷. (Der Ausdruck 10¹⁵⁷ ist eine wissenschaftliche Notation, die besagt, dass wir mit 1 multiplizieren, gefolgt von 157 Nullen.) Diese Zahl ist nicht nur massiv, sondern auch nur eine Schätzung des realen Wertes von 100!

Eine andere Möglichkeit, einen Ausdruck mit Fakultäten wie der hier gezeigten zu vereinfachen, erfordert überhaupt keinen Taschenrechner. Der Weg, um dieses Problem anzugehen, ist zu erkennen, dass wir 100 umschreiben können! nicht als 100 x 99 x 98 x 97 x… x 2 x 1, sondern als 100 x 99 x 98! Der Ausdruck 100! / 98! jetzt wird (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.